Noi tre, Freud e Gödel. II parte

Dopo qualche riflessione sul concetto di verità riprendo l’intervista per fare a Francesco una domanda molto specifica.  Si entra nel dettaglio della matematica e delle scoperte che nel secolo scorso hanno stravolto il punto di vista su molte questioni. Nel 1930 un giovane austriaco di nome Kurt Gödel dimostrò un teorema che da solo ha modificato l’assetto delle conoscenze matematiche del tempo tanto da costituire, insieme al principio di indeterminazione di Heisenberg e alla relatività di Einstein, uno dei cataclismi culturali 900. Era un teorema di logica matematica, oggi noto come Teorema di Incompletezza dell’Aritmetica.

Fate un respiro e mettetevi a sedere perché la situazione si fa più complicata. Se non capite subito è normale quindi non datevi per vinti, questo è il punto del percorso in cui la guida si gira verso il gruppo e dice ‘ chi non se la sente può tornare indietro, chi invece se la sente venga con me’; solo voi potete decidere da che parte  andare.

Continuo dunque con chi ha deciso di restare e cerco di spiegare di che cosa si tratta.  Semplificando al massimo i termini della questione, il teorema di Gödel dice che in ogni sistema logico-formale che sia coerente e in grado di esprimere certe nozioni aritmetiche di base, esistono enunciati che sono indecidibili . Questo vuol dire che, qualsiasi sia il sistema di assiomi da cui si stabilisca di partire per costruire una teoria che rappresenti l¹aritmetica che abbiamo imparato a scuola, esisterà, in quella teoria, qualche enunciato che non può essere dedotto da questi assiomi e tale che anche la sua negazione non può essere dedotta da questi assiomi.

Faccio un passo indietro per inquadrare quanto detto e apro una parentesi sugli assiomi. Gli assiomi sono un po¹ gli ingredienti fondamentali di un ambito di ricerca matematico, vengono fissati e presi per buoni una volta per tutte, accreditati da alcune proprietà che devono soddisfare e, magari, dalla loro evidenza (si possono utilizzare sistemi di assiomi alternativi, ma avremo davanti una teoria diversa da quella di partenza). Dagli assiomi, mediante procedimenti deduttivi corretti, si ottengono i teoremi, cioè dei risultati che evidenti non sono. Sono assiomi della Geometria Euclidea, per esempio, il fatto che per due punti passa una sola retta oppure che ogni retta ammette una retta parallela che passa per un punto esterno ad essa. È un teorema, invece, il fatto che due rette parallele ad una terza retta sono parallele tra di loro.  Quest’ultimo è infatti un risultato che può essere provato mediante una dimostrazione, cioè mediante un ragionamento costruito a partire dagli assiomi.  Assiomi e teoremi, insieme alle definizioni, costituiscono una teoria. Va da sé quindi che ogni teoria ha i propri assiomi, le proprie definizioni e i propri teoremi, ricavati deduttivamente da questi (Il ragionamento deduttivo è infatti quello che preserva la verità degli assiomi).

Potrebbe sembrare che il teorema di Gödel dica allora che, comunque si scelgano gli assiomi di partenza per costruire una teoria, questi non saranno sufficienti a garantire che si possa dire, di ogni affermazione interna alla teoria, se questa è vera o è falsa.  Ci si può chiedere che forma possa avere un’affermazione che non risulta essere vera né falsa; è possibile farsi un’idea nel linguaggio comune pensando alla frase ‘sto mentendo’, nota  fin dall’antichità come il paradosso del mentitore. Se mento, infatti, dico la verità; mentre se dico la verità, allora per quanto detto sto mentendo.

Ma i risultati di Gödel mostrano dunque che ci sono enunciati veri e indimostrabili? Pongo la questione a Francesco, questa è la sua risposta:

‘C’è molto accordo sul fatto che i risultati di incompletezza di Gödel mostrano che la verità matematica eccede, in un qualche senso, la dimostrabilità formale. In quale senso esattamente la ecceda, è un problema. Quando i matematici parlano di ‘dimostrabilità’ nel loro senso intuitivo e informale, di solito assumono semplicemente che la dimostrabilità sia fattiva: se si dimostra P, allora P è ‘vero’. Questa nozione intuitiva e informale di dimostrazione, dati i risultati di Gödel, eccede le capacità di ‘cattura’ di qualsiasi singolo sistema formale. E questo è connesso al fatto che, perché un sistema S conti come un sistema formale, S deve obbedire a precise restrizioni di computabilità. In particolare, occorre che sia possibile riconoscere in un numero finito di passi la validità di una dimostrazione (in termini tecnici si dice che S è un autentico sistema formale se, data una presunta deduzione in S di una formula B a partire da un insieme di formule A1, A2, … An, è possibile decidere algoritmicamente, cioè meccanicamente, se quella sia davvero una dimostrazione in S di B a partire da A1, …, An, o meno). Tuttavia, una volta acquisiti i risultati Gödeliani di incompletezza,  ciò che non è dimostrabile né refutabile (dunque indecidibile) in un sistema di assiomi S1 potrebbe essere dimostrabile in un altro sistema S2. È una questione controversa se ci siano verità assolutamente indimostrabili, nel senso che non sono derivabili in alcun sistema coerente’.

Mi fermo sulle ultime cose dette:  la nozione di dimostrazione, come la intendiamo noi, non consente la cattura di un sistema di assiomi. Di fatto significa questo: potrebbe esserci qualche affermazione che coinvolge quegli assiomi e che non è dimostrabile in un numero finito di passaggi.  All’interno di ogni sistema, esistono dunque problemi che non possono essere risolti e per comprenderli bisogna spostarsi in un sistema più grande nel quale ci saranno a loro volta problemi irrisolti e così via, come se ogni sistema fosse la bambola intermedia di una matrioska infinita. La nostra possibilità di dimostrare non consente di verificare o confutare tutte le affermazioni che possono essere create mescolando gli ingredienti-base della teoria, cioè gli assiomi. Il termine catturare mi richiama alla mente l’idea della sfida; è una gara impari e spregiudicata quella che porta l’uomo a confrontarsi con la propria mente, sede naturale della prassi matematica. Oppure la matematica esiste da qualche parte fuori e noi utilizziamo il pensiero come unico strumento per vederla?

Francesco riprende il discorso per far luce sulle mie osservazioni: ‘Gödel, che era un platonista matematico convinto, pensava che le entità matematiche esistessero per conto loro, come le idee platoniche, indipendentemente dalle nostre costruzioni e dimostrazioni; e che fare matematica fosse — per usare un’immagine di Hardy — esplorare questo territorio intelligibile. Seguendo Gödel, alcuni (ad esempio, Roger Penrose) ritengono sensato sostenere che possiamo intuire o cogliere con una specie di intuizione intellettuale, o usando ragionamenti non finitari, verità che eccedono inevitabilmente la dimostrabilità formale, ma questo è controverso ed è dubbio che Gödel la pensasse esattamente così’.

Riprendo la parola e osservo che il teorema di incompletezza in qualche modo mina le nostre certezze.  Ci sono verità non dimostrabili con i presupposti da cui partiamo. Volendo portare il discorso fuori dall’ambito matematico, mi viene da pensare che c’è sempre qualcosa che ci sfugge, qualcosa che non riusciamo ad afferrare e alla fine, bene o male, ci ridimensiona.

Mi giro verso Giacomo per chiedergli di commentare questo risultato dal punto di vista psicologico; lui dice così:

‘Sicuramente c’è qualcosa che sfugge al nostro calcolo razionale e ci ridimensiona. Non possiamo ridurre la nostra vita ad un calcolo razionale dei pro e dei contro, dei vantaggi e dei rischi, dei benefici e delle perdite. C’è un filo rosso emotivo che scorre sotto alle nostre legittime costruzioni di senso e alle nostre scelte, e direi, per fortuna che è cosi. La stessa origine della vita si fonda su un atto d’amore, che se ne infischia delle nostre teorie. La psicoanalisi di Freud parla di inconscio; di un’altra scena che detiene la verità e si manifesta nei sogni, nei lapsus, nelle nostre dimenticanze quotidiane. Altri approcci più esistenzialisti parlano di una tensione all’autorealizzazione dell’uomo verso valori sempre più elevati che confinano con la spiritualità. In particolare, sono molto legato a due concetti, quello di area transizionale di Winnicott e di desiderio di Lacan. Secondo il primo, la nostra creatività si produce nella zona di mezzo tra il seno materno e il mondo; quello spazio a cavallo tra sogno e realtà che abbiamo cominciato ad esplorare quando ci siamo separati dal seno materno e che è la sede della nostra ricerca di un senso e della nostra curiosità culturale. Forse, anche del desiderio di cui parla Lacan, che per essere tale non si ancora mai a nessun “oggetto” ma migra costantemente, per tutta la vita, facendoci sentire incompleti ma vivi’.

Mi inserisco nel discorso per fare una considerazione a voce alta sulla curiosità di questo inconsapevole scambio di battute. Gödel ha dimostrato l’incompletezza; Lacan, nello stesso periodo, ha risposto senza saperlo a questa provocazione dicendo che siamo incompleti ma vivi. Immagino che Gödel avrebbe potuto controbattere, con uno slancio di ironia, che per provare questa verità siamo dovuti uscire dal sistema della Logica entrando in quello della Psicologia.

Rientro nei ranghi della conversazione credibile e mi avvio al termine di questa chiacchierata a tre. Prima di andare, però, voglio rivolgere un’ultima domanda a Francesco  e a Giacomo (chissà quando mi ricapita!) e chiedo loro di parlare delle differenza tra paradosso e contraddizione. Francesco risponde così:

‘Di solito si definisce un paradosso come un argomento che muove da premesse che appaiono intuitive o plausibili, e attraverso procedimenti logici che appaiono a loro volta plausibili e corrette, giunge a una conclusione implausible, controintuitiva, o anche assurda. Naturalmente cosa conti come plausibile, intuitivo, etc., è questione di gradi e contesti. Così anche la paradossalità di un paradosso è questione di gradi e contesti: più le premesse e li procedimenti logici ci sembrano giusti, in una certa situazione, ma la conclusione è sbagliata, più l’argomento è paradossale’.

Interrompo Francesco e mi fermo su quanto ha detto: un paradosso è un ragionamento che parte da premesse plausibili e, senza sapere dove inciampa, arriva a conclusioni assurde.  Mi viene in mente l’immagine di una libellula peruviana che tutti i giorni fa lo stesso percorso nella campagna in cui vive. Tre metri a destra, due metri a sinistra, si alza in quota e arriva alla staccionata verde. Un giorno trova sul suo cammino un elicottero che è atterrato d’emergenza per dei controlli al motore e che riparte con l’insetto a bordo.  La libellula, ignara, si riposa e poi inizia il suo solito tragitto: tre metri a destra, due metri a sinistra, si alza in quota e si ritrova… in Liguria.  Non sa che cosa ha sbagliato ma la conclusione non torna con le premesse, è decisamente assurda.

Francesco torna sull’argomento per ampliare il concetto e fare alcune precisazioni. Ecco le sue parole: ‘A volte si caratterizza un ‘paradosso’, più strettamente, come la conclusione di un argomento paradossale. La conclusione in questione può essere una contraddizione, come no. Una contraddizione è una coppia o una congiunzione di enunciati, tali che uno è la negazione dell’altro (‘Roma è in Italia e Roma non è in Italia’).  Alcuni argomenti paradossali hanno per conclusione vere e proprie contraddizioni (ad esempio il famoso paradosso di Russell, in cui da certi principi apparentemente buoni della cosiddetta ‘teoria ingenua degli insiemi’ si deduce l’esistenza di un insieme che appartiene e non appartiene a se stesso). Altri paradossi hanno conclusioni non contraddittorie, ma che semplicemente sfidano la nostra intuizione. Ad esempio, il teorema di Banach-Tarski viene spesso chiamato ‘paradossale’ perché sfida certe nostre intuizioni molto forti sulla costituzione degli oggetti materiali (come fa UNA sfera a essere decomposta e ricomposta in DUE sfere identiche all’originale??). Ma non è certo un risultato inconsistente (è un teorema!). Spesso risultati controintuitivi costituiscono grandi progressi nella scienza e nella matematica: ci spingono a rivedere cose che prendevamo per acquisite, e rivoluzionano i nostri schemi concettuali’.

Guardo Giacomo e gli chiedo se esistono i paradossi in psicologia. 

Paradossi e contraddizioni esistono nella vita e quindi anche in psicologia.  Il conflitto interno, che è uno dei concetti centrali intorno a cui si è interrogata la psicologia dinamica, cioè quella branca che studia il flusso degli aspetti emotivo-affettivi, per certi aspetti può essere considerato una contraddizione. Qualche esempio? Voglio andare al mare ma preferisco il relax della montagna. Voglio stare insieme a quella persona ma sto diventando sempre più insofferente nei confronti di certe sue abitudini. Vorrei mangiare il dolce ma quest’estate voglio superare alla grande la prova costume. L’ambivalenza umana è il regno della contraddizione e dei conflitti. Abbiamo dimostrazione continua di come molte nostre scelte ed azioni, anche le più importanti, non siano l’esito di una programmazione logica ma, molto più spesso, di una faticosa valutazione che si fonda sull’ambivalenza. Di nuovo, la questione alla base della nostra serenità sta spesso nel trovare soluzioni che sono a volte di compromesso e a volte di integrazione tra diversi elementi della nostra personalità, senza comprimerli o negarli e comunque diventando consapevoli delle loro molteplici sfaccettature. Riguardo ai paradossi, c’è una lunga tradizione di pensiero, nata con il pensiero sistemico a partire da Bateson e Watzlawick, che addirittura arrivò ad ipotizzare che certe forme gravi di patologia mentale come la schizofrenia possano rappresentare l’esito di ripetute e protratte ingiunzioni paradossali che impediscono alla persona di comprendere a quale dei due messaggi implicati in una comunicazione ubbidire. Ad esempio, il famoso: “sii spontaneo”. Oppure, il: “dai retta a me: fai come desideri tu”. Che devo fare? Si chiede il ricevente. Se ubbidisco, non sono spontaneo. E se sono spontaneo, non ubbidisco…’.

È il momento dei saluti.

Ringrazio con tutto il cuore Francesco e Giacomo che si sono prestati con competenza e allegria a questo gioco di confronto e di condivisione. Le loro voci hanno suonato insieme e sono diventate un piccolo grande coro.

Quanto a voi, immagino che non sia stato banale seguire il filo di questa conversazione schizofrenica che ha chiamato in causa ambiti e argomentazioni tanto diversi tra loro.  In effetti, se siete arrivati in fondo e state leggendo queste ultime righe siete proprio degli eroi. E gli eroi, si sa,  hanno nelle vene massicce dosi di istinto e ragione che si fondono in girotondi prodigiosi per poi riemergere incredibilmente immutati.

https://francescoberto.academia.edu

http://www.giacomogrifoni.it

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