{"id":1451,"date":"2019-07-14T10:50:48","date_gmt":"2019-07-14T08:50:48","guid":{"rendered":"http:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/?p=1451"},"modified":"2019-07-14T16:13:23","modified_gmt":"2019-07-14T14:13:23","slug":"la-combinazione-segreta-di-rsa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/articoli\/la-combinazione-segreta-di-rsa\/","title":{"rendered":"La combinazione segreta di RSA"},"content":{"rendered":"\n

Nel 1999 Christoper Chabris e Daniel Simons condussero un esperimento volto a provare la cosiddetta cecit\u00e0 attentiva<\/em>. I due ricercatori girarono un video in cui alcuni studenti si mescolavano in un ambiente chiuso e si passavano una palla da basket. Divisi in due squadre, la met\u00e0 dei ragazzi aveva indosso la maglietta bianca mentre gli altri la indossavano nera. Fu chiesto a un campione di volontari di contare i passaggi dei ragazzi vestiti di bianco.<\/p>\n\n\n\n

A met\u00e0 del video, che durava un minuto in tutto, compariva in scena una ragazza travestita da gorilla; si mischiava ai giocatori e, mentre loro continuavano a passarsi la palla, lei batteva le mani sul petto, dopo di che disinvoltamente si allontanava e usciva dal quadro della ripresa.<\/p>\n\n\n\n

Concentrata sul conteggio, gran parte dei partecipanti all\u2019esperimento rivel\u00f2 alla fine l\u2019esatto numero di passaggi ma dichiar\u00f2 di non aver notato il gorilla. La loro attenzione si era focalizzata su un compito preciso e aveva completamente escluso uno stimolo che pure era stato visibile e inaspettato.<\/p>\n\n\n\n

-Quale gorilla? – Chiesero in molti.<\/p>\n\n\n\n

Non ricordavano di averlo visto.<\/p>\n\n\n\n

Con il test di Chabris e Simons apparve lampante che la nostra mente, quando \u00e8 impegnata in un compito specifico, tende a incanalare tutta l\u2019energia per utilizzare al meglio la nostra attenzione che risulta dunque catturata in maniera totalizzante. Qualcosa di simile succede quando studiamo matematica: indirizziamo il nostro pensiero su un incarico che richiede molta concentrazione e, passo dopo passo, ci isoliamo nel percorso del ragionamento.<\/p>\n\n\n\n

In quel periodo, che risulta pi\u00f9 o meno lungo in relazione alla complessit\u00e0 del problema e all\u2019abitudine di ciascuno a cimentarsi con i procedimenti astratti, abbiamo bisogno di riflettere da soli, sentiamo l\u2019esigenza di dare alla mente gli strumenti per metabolizzare e per collegare le informazioni; il nostro tempo in quel contesto \u00e8 scandito da un ritmo che proviene da una parte profonda di noi e che non possiamo in alcun modo forzare.  <\/p>\n\n\n\n

L\u2019articolo di oggi tratta di crittografia, in particolare indaga su quello che succede nel sistema informatico quando digitiamo il codice della nostra carta di credito per fare un acquisto on line. Dietro ogni transazione c\u2019\u00e8 un incredibile gioco di prestigio che combina sapientemente delle propriet\u00e0 matematiche elementari al fine di rendere ogni operazione sicura. <\/p>\n\n\n\n

\u00c8 un tema articolato che ci costringe a mettere in atto, tra l\u2019altro, diversi tipi di competenze emotive e metacognitive. Tra queste svetta per importanza la concentrazione, seguita subito dopo dalla determinazione a procedere e da quella meravigliosa quota di caparbiet\u00e0 che ci consente di superare il senso di frustrazione e di rimandare la gratificazione durante le tappe del ragionamento. <\/p>\n\n\n\n

Mi sono chiesta a lungo se valesse la pena investire tanta energia in un articolo che presenter\u00e0, per forza di cose, un certo grado di oggettiva difficolt\u00e0. Dopo un ping pong di riflessioni, la mia risposta \u00e8 stata questa:<\/p>\n\n\n\n

non bisogna aver paura della salita. <\/em><\/p>\n\n\n\n

Ho pensato ai lettori pi\u00f9 poetici, quelli che entrano nel blog di Buongiorno Matematica e magari cercano nei racconti un rifugio dalle brutture del mondo; saranno forse i primi a scoraggiarsi. Tuttavia, \u00e8 proprio per loro che ho deciso di continuare, i lettori che si avvicinano ai numeri mediante le parole sono quelli a cui tengo di pi\u00f9.<\/p>\n\n\n\n

Per facilitare la comprensione, ho pensato di suddividere l\u2019articolo in tappe, che immagino come le stazioni di un lungo e bellissimo viaggio. In ogni tappa, richiamo gli argomenti che servono per la composizione finale. La questione sar\u00e0 affrontata solo nel suo aspetto matematico, tralasciando sia la parte informatica che quella legata alla gestione delle reti. <\/p>\n\n\n\n

Il mio consiglio, per chi \u00e8 meno abituato al ragionamento matematico ma \u00e8 comunque intenzionato a viaggiare, \u00e8 di leggere una stazione al giorno e di riguardarla il giorno dopo, prima di procedere con quella successiva. La mente ha bisogno di comporre il puzzle da sola, ogni minuto impiegato per la riflessione \u00e8 una forma di investimento sulla nostra capacit\u00e0 di pensare. Prendetevi il tempo di rimuginare, tornate indietro e rileggete tutte le volte che lo ritenete opportuno. Non esiste momento migliore dell\u2019estate per meditare, solo voi potete scegliere se proseguire o abbandonare il cammino.<\/p>\n\n\n\n

Dunque partiamo; accendo la locomotiva con le dita che scalpitano mentre battono sulla tastiera. <\/p>\n\n\n\n

Vi passo il cappellino per il sole e faccio un\u2019ultima precisazione: il motivo per cui ho scelto questo tema \u00e8 che, mentre lo studiavo, mi \u00e8 battuto il cuore; tutto sommato mi \u00e8 parsa una valida ragione.<\/p>\n\n\n\n

IL SISTEMA RSA <\/strong><\/p>\n\n\n\n

A met\u00e0 degli anni 70, mentre in America e in Inghilterra imperversava il Punk, tre studiosi del Massachusetts Institute of Technology dettero vita a un sistema di cifratura che avrebbe rivoluzionato per sempre le nostre abitudini. Le iniziali dei loro nomi ( Rivest, Shamir e Adleman ) sono ad oggi utilizzate per indicare uno degli algoritmi di crittografia con cui i nostri dati vengono protetti nella navigazione in internet. <\/p>\n\n\n\n

Alla base del procedimento c\u2019\u00e8 un iter di pochi passi mediante il quale ogni informazione pu\u00f2 essere camuffata e resa irriconoscibile per essere riportata, all\u2019occorrenza, nella sua veste iniziale. Lo scopo di questa operazione \u00e8 quello di mettere i nostri dati al riparo dagli hacker o dai pirati della rete, in modo che nessuno possa usufruirne senza permesso. <\/p>\n\n\n\n

La strategia di codifica e di decodifica poggia su tre concetti che risultano, almeno nel nome, familiari alla maggior parte delle persone: i numeri primi, le divisioni con il resto, la matematica dell\u2019orologio. <\/p>\n\n\n\n

Ci vediamo alla prima stazione, buon viaggio a tutti!<\/p>\n\n\n\n

I STAZIONE: I NUMERI PRIMI<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Succede, qualche volta, che in matematica una definizione molto semplice celi delle implicazioni inimmaginabili. \u00c8 il caso dei numeri primi, semplicemente definiti come quei particolari numeri interi e positivi che sono divisibili unicamente per 1 e per se stessi.<\/p>\n\n\n\n

2, 3 e 5 sono numeri primi<\/em> perch\u00e9 non ammettono divisori diversi da 1 e da se stessi; 6 non \u00e8 primo<\/em> perch\u00e9 \u00e8 dato dal prodotto 3×2 e ammette quindi 2 e 3 come divisori. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Tutti i numeri che possono essere scritti come prodotto di altri numeri, pertanto, NON sono numeri primi.<\/p>\n\n\n\n

A forza di dividere un numero e di trovare i suoi divisori, si arriva a una scomposizione finale che non pu\u00f2 essere ulteriormente ridotta: i fattori che vi compaiono sono dunque fattori primi, <\/em>pertanto non ulteriormente scomponibili.<\/p>\n\n\n\n

A scuola ci hanno insegnato come trovare questi fattori mediante la costruzione di una semplice tabella nella quale vengono riportati il numero da scomporre e le successive divisioni.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

La scomposizione in fattori<\/em> viene detta fattorizzazione<\/em>; conoscere i fattori di un numero significa di fatto conoscere il numero stesso; viceversa se il numero \u00e8 molto molto grande e non \u00e8 un numero primo, il processo di scomposizione pu\u00f2 essere molto lungo. <\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

I numeri primi godono di propriet\u00e0 sorprendenti, la prima delle quali \u00e8 che<\/p>\n\n\n\n

 ogni numero si pu\u00f2 scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi<\/em><\/p>\n\n\n\n

Si pu\u00f2 pensare ai numeri primi come ai mattoncini della Lego: ogni edificio si costruisce combinando un certo numero di mattoncini, ma i mattoncini stessi non sono a loro volta divisibili. <\/p>\n\n\n\n

Un\u2019altra propriet\u00e0, dimostrata da Euclide nel III secolo avanti Cristo, \u00e8 che <\/p>\n\n\n\n

 I numeri primi sono infiniti<\/em> <\/p>\n\n\n\n

Tornando all\u2019esempio del Lego, \u00e8 come se avessimo un numero infinito di mattoncini di forma diversa da poter combinare a piacimento. La nostra mente non riesce a immaginarli! Pensare che esistano numeri con 1000,10000, 100000 cifre, tali da non essere divisibili per nessuno dei numeri precedenti, fa girare la testa. <\/p>\n\n\n\n

Quello che segue, per esempio, ha (solo!) 115 cifre e nessuno di noi, scritto cos\u00ec com\u2019\u00e8, sarebbe in grado di leggerlo agevolmente. <\/p>\n\n\n\n

1717182839939829287647627208928032904940311189384629238464778900111891111105111188873764767161787777777126318880997<\/p>\n\n\n\n

Una complicazione si aggiunge ai limiti della nostra fantasia: allo stato attuale, non abbiamo mezzi che ci permettano di sapere come i numeri primi siano distribuiti all\u2019interno degli altri numeri: non c\u2019\u00e8 una legge che ci dica dove si trovano e come fare a individuarli. Quello che sappiamo per certo \u00e8 che all\u2019inizio sono abbastanza fitti, poi si diradano sempre pi\u00f9 fino a diventare sporadici: ce ne sono 25 tra 1 e 100; 17 tra 401 e 500 e solamente 14 tra 901 e 1000.<\/p>\n\n\n\n

Il numero primo pi\u00f9 grande ad oggi conosciuto ha 23249425 cifre (oltre 23 milioni); non sappiamo quanto ci toccher\u00e0 contare prima di trovare il prossimo, ma abbiamo la ragionevole certezza che prima o poi lo acchiapperemo. <\/p>\n\n\n\n

\u00c8 il sogno che inganna l\u2019attesa quello che spinge la nave e la fa navigare.<\/p>\n\n\n\n

Un\u2019ultima definizione prima di passare alla prossima stazione: <\/p>\n\n\n\n

Due numeri<\/em> sono primi tra loro<\/em> se non hanno divisori comuni, cio\u00e8 se il loro Massimo Comun Divisore \u00e8 1. <\/p>\n\n\n\n

8 e 9 sono primi tra loro; 6 e 15 invece non sono primi tra loro perch\u00e9 ammettono 3 come divisore comune. <\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

II STAZIONE: LA DIVISIONE CON IL RESTO<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Abbiamo visto che ogni numero, se non \u00e8 primo, pu\u00f2 essere fattorizzato. Prendiamo ad esempio 360, i cui fattori sono 2 preso 3 volte, 3 preso due volte e 5.<\/p>\n\n\n\n

Se dividiamo 360 per uno di questi numeri, otteniamo un numero intero dato dal prodotto dei rimanenti. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Che cosa succede, invece, se dividiamo un numero per un altro numero che non \u00e8 tra i suoi fattori e che non \u00e8 nemmeno dato dal prodotto di alcuni di questi? <\/p>\n\n\n\n

Semplicemente otteniamo un resto. <\/p>\n\n\n\n

Se a<\/em> e d<\/em> sono due numeri interi ( e d <\/em>\u00e8 diverso da zero), possiamo sempre dividere a<\/em> per d<\/em>. Genericamente, otteniamo un risultato q che viene chiamato quoziente<\/em> e un resto r <\/em>che, ovviamente, \u00e8 pi\u00f9 piccolo di d<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Se a \u00e8 multiplo di d, allora la divisione non ha resto e r = 0. <\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

In generale, possiamo scrivere:<\/p>\n\n\n\n

 a = d <\/em>\u22c5 q + r <\/em><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

L\u2019idea del resto, per forza di cose, \u00e8 legata a qualcosa che avanza: uno spicciolo che inseriamo nel portafoglio dei pensieri quando l\u2019operazione non \u00e8 esatta.<\/p>\n\n\n\n

Esiste, invece e sorprendentemente, una branca dell\u2019aritmetica che fa del resto il suo oggetto principale: accantona il risultato e considera la parte in esubero per costruire nuove relazioni e indagarne le propriet\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

I risultati e le applicazioni di questo ambito sono incredibilmente fertili. <\/p>\n\n\n\n

L\u2019idea \u00e8 quella di considerare un numero qualsiasi, per esempio 9, e di raggruppare, corrispondentemente, i numeri che si possono ottenere come resto dalle divisioni per 9. <\/p>\n\n\n\n

Rallento la velocit\u00e0 e scalo la marcia su questo argomento perch\u00e9 tutti possano guardarlo da vicino come si fa in un sentiero di montagna quando si incontra una stella alpina. Il discorso che facciamo per il numero 9 pu\u00f2 essere fatto per ogni numero positivo.<\/p>\n\n\n\n

Quando dividiamo un numero qualsiasi per 9, se il numero non \u00e8 un multiplo di 9 otteniamo un resto. Se cambiamo numero, ovviamente pu\u00f2 cambiare il resto. L\u2019insieme di tutti i resti che si possono ottenere dalle divisioni per 9 viene indicato con il simbolo \u21249<\/sub>  (si legge proprio zeta 9<\/em>) e si chiama \u2018Classe di resto modulo 9\u2019.<\/p>\n\n\n\n

\u21249 <\/sub>contiene, per esempio, il resto di 326: 9, di 127:9, di 573:9.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Ciascuno di questi valori \u00e8 un numero compreso tra 0 e 8 (se fosse un numero maggiore o uguale a 9, la divisione potrebbe proseguire e il resto sarebbe un altro); \u21249<\/sub> \u00e8 quindi l\u2019insieme formato dai numeri \u29970,1,2,3,4,5,6,7,8\u2998. <\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Come si fa per il 9, si pu\u00f2 creare la classe di resto di ogni numero intero n: questa conterr\u00e0 genericamente i resti delle divisioni per n. \u00c8 possibile definire, in ogni classe di resto, le ordinarie operazioni dell\u2019aritmetica: somma\/sottrazione e moltiplicazione\/divisione. <\/p>\n\n\n\n

Torniamo per comodit\u00e0 in \u21249<\/sub>, ci domandiamo per esempio come calcolare il prodotto tra due suoi elementi. <\/p>\n\n\n\n

Al centro dell\u2019interesse c\u2019\u00e8 sempre il concetto di resto: presi due elementi qualsiasi in \u21249<\/sub>, si calcola il loro prodotto in modo ordinario e si considera il resto ottenuto dalla divisione del risultato per 9. Per esempio, per trovare in \u21249<\/sub> il valore di 5\u22c54, si calcola prima la moltiplicazione 5\u22c54 = 20 e poi si ricava il resto della divisione tra 20 e 9. Il risultato \u00e8 quindi 2.<\/p>\n\n\n\n

Quella in figura \u00e8 una tabella che contiene tutti possibili prodotti tra gli elementi di \u21249<\/sub> (per comodit\u00e0 \u00e8 stato omesso lo zero). <\/p>\n\n\n\n

\"\"
TABELLA DEI PRODOTTI IN Z9<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Siamo quasi pronti per passare alla stazione successiva, \u00e8 per\u00f2 necessario fare prima un\u2019osservazione che torner\u00e0 molto utile in seguito. <\/p>\n\n\n\n

Quando il risultato della moltiplicazione tra due numeri in \u2124n \u00e8 1, si dice che i due numeri sono l\u2019uno l\u2019inverso<\/em> dell\u2019altro. Per come abbiamo definito la moltiplicazione, questo significa che due numeri sono l\u2019uno l\u2019inverso dell\u2019altro se il loro prodotto, diviso per n, d\u00e0 resto 1.<\/p>\n\n\n\n

Tornando alla tabella di \u21249<\/sub>, si pu\u00f2 notare che, escludendo 1, ammettono un inverso solo i numeri 2,4,5,7,8 ( l\u2019inverso di 2 \u00e8 5, l\u2019inverso di 4 \u00e8 7, l\u2019inverso di 8 \u00e8 ancora 8): sono tutti numeri primi con 9 (cio\u00e8 non ammettono divisori comuni con 9).<\/p>\n\n\n\n

Ecco dunque un\u2019importante propriet\u00e0 che sar\u00e0 fondamentale nella costruzione finale: <\/p>\n\n\n\n

Ammettono inverso in <\/em>\u2124n, tutti e soli i numeri che sono primi con n , cio\u00e8 quelli il cui massimo comune divisore con n risulta essere uguale a 1<\/em><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

III STAZIONE: L\u2019ARITMETICA DELL\u2019OROLOGIO <\/strong><\/p>\n\n\n\n

Consideriamo un semplice orologio a lancette. Lasciamo perdere la lancetta lunga dei minuti e fissiamo l\u2019attenzione su quella corta delle ore. <\/p>\n\n\n\n

Ci posizioniamo sul numero 10 e lasciamo passare il tempo. Dopo un\u2019ora la lancetta \u00e8 sull\u201911, dopo due ore \u00e8 sul 12 e dopo 3 ore\u2026\u00e8 sul numero 1! Siamo cos\u00ec abituati a questo meccanismo che ci sembra del tutto normale: nella logica dell\u2019orologio, l\u2019operazione 12+1 d\u00e0 come risultato 1. Qual \u00e8 allora il principio che si nasconde sotto questo marchingegno? <\/p>\n\n\n\n

Possiamo facilmente dedurlo se immaginiamo di posizionare la lancetta sul 12 e di contare, per esempio, 124 ore. Cerchiamo di stabilire, senza percorrere il quadrante passo per passo, dove sar\u00e0 la lancetta allo scoccare della 124-esima ora.<\/p>\n\n\n\n

A questo scopo, pi\u00f9 o meno consapevolmente calcoliamo la divisione 124:12. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Il risultato \u00e8 10 con resto 4. Nel corso delle 124 ore, abbiamo quindi fatto 10 giri e siamo scattati in avanti di quattro tacche. La lancetta \u00e8 dunque posizionata sul resto della divisione per 12.<\/em><\/p>\n\n\n\n

L\u2019orologio funziona  quindi sul meccanismo del resto: il quadrante \u00e8 diviso in 12 parti e vi sono 11 possibili resti; dopo un giro completo la lancetta torna sul 12, si ha un multiplo dell\u2019ora e il resto \u00e8 zero. <\/p>\n\n\n\n

Con un piccolo sforzo di astrazione, possiamo far volare la fantasia e immaginare orologi con un numero qualsiasi di ore: il principio rimane lo stesso, le meraviglie invece aumentano.<\/p>\n\n\n\n

Pierre di Fermat, un matematico del periodo di Cartesio, trov\u00f2 nel XVII secolo una propriet\u00e0 inaspettata: se immaginiamo di avere un orologio che ha un numero primo di ore, p<\/em>, e posizioniamo la lancetta su un certo valore x, possiamo affermare che dopo un numero di passi, dato da x p <\/sup>, la lancetta sar\u00e0 di nuovo su x.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Per esempio, se l\u2019orologio ha 19 ore (19 \u00e8 un numero primo) e la lancetta si trova sul 2, dopo 219 <\/sup>scatti si trover\u00e0 di nuovo nella stessa posizione. Moltiplicando 2 per s\u00e9 stesso 19 volte, otteniamo un valore che corrisponde, sull\u2019orologio a 19 ore, di nuovo al numero 2.<\/p>\n\n\n\n

Che cosa avr\u00e0 pensato, Pierre De Fermat, quando si \u00e8 trovato davanti un risultato tanto suggestivo? E quale magia aleggia sui numeri primi per rendere la loro singolarit\u00e0 tanto diffusa? Compaiono in situazioni inaspettate, apparentemente fuori contesto, e fanno dell\u2019eccezione una favolosa forma di armonia. Si ha la sensazione, quando ci si imbatte in questo genere di sorprese, che qualcosa di divino accompagni i numeri primi; un mistero che non riusciamo ad afferrare e che ci illumina dall\u2019alto con le sua potenza educata, come se le cose pi\u00f9 belle della vita non fossero urlate, ma inspiegabilmente sussurrate. I numeri primi sono un invito al silenzio, un inno alla profondit\u00e0; sono la traccia di un\u2019impronta sulla sabbia che scompare senza darci il tempo di capirla per intero: qualsiasi cosa abbiamo letto \u00e8 solo una parte della verit\u00e0. <\/p>\n\n\n\n

Un secolo dopo a Fermat, Leonardo Eulero trov\u00f2 una generalizzazione della sua scoperta. Eulero consider\u00f2 orologi il cui numero di ore non era semplicemente un numero primo, ma era dato dal prodotto di due numeri primi (\u00c8 bene precisare che prodotto di due numeri primi NON \u00e8 a sua volta un numero primo, in quanto \u00e8 divisibile per entrambi).<\/p>\n\n\n\n

Prendiamo quindi un numero n dato dl prodotto dei due primi p e q: <\/p>\n\n\n\n

 n = p<\/em>\u22c5q <\/em><\/p>\n\n\n\n

e immaginiamo un orologio che ha n ore sul quadrante. <\/p>\n\n\n\n

Posizioniamo la lancetta su un numero x qualsiasi, poi cominciamo a farla girare.<\/p>\n\n\n\n

Eulero scopr\u00ec che su un orologio di questo tipo, la lancetta sarebbe tornata su x dopo un numero di passi dato da (p<\/em>-1)(q<\/em>-1)+1, cio\u00e8 per questo valore della potenza di x:<\/p>\n\n\n\n

x (<\/sup>p<\/sup><\/em>-1)(<\/sup>q<\/sup><\/em>-1)+1 <\/sup><\/p>\n\n\n\n

Quindi, nella dinamica dell\u2019orologio:<\/p>\n\n\n\n

x (<\/sup>p<\/sup><\/em>-1)(<\/sup>q<\/sup><\/em>-1)+1<\/sup>= x  <\/p>\n\n\n\n

Il resto che si ottiene dividendo x(p-1)(q-1)+1 <\/sup>per n \u00e8 lo stesso di quello che si ottiene dividendo x per n.<\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Eulero e Fermat non avrebbero mai potuto sospettare che i loro risultati sarebbero stati utilizzati, molto tempo dopo, per garantire la sicurezza di operazioni che allora sarebbero apparse semplicemente inconcepibili.<\/p>\n\n\n\n

Al di l\u00e0 dei mezzi pi\u00f9 moderni, rimane il fatto che la crittologia \u00e8 una forma di sapere antica come l\u2019uomo. La possibilit\u00e0 di celare messaggi sotto false scritture per ingannare tutti tranne uno \u00e8, da sempre, evidentemente importante; essenziale come la strategia d\u2019attacco in una battaglia e accattivante come il segreto nascosto in una lettera d\u2019amore.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

COMPOSIZIONE FINALE: L\u2019ALGORITMO PER CRIPTARE E DECRIPTARE<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Siamo giunti al momento cruciale di questo lungo articolo. Nelle prossime righe tutte le nozioni che abbiamo visto saranno utilizzate in un collaborativo scambio di funzionalit\u00e0 e produrranno, insieme, un\u2019applicazione geniale.<\/p>\n\n\n\n

Le mosse che vogliamo spiegare rendono possibili delle operazioni come quella che viene illustrata di seguito. <\/p>\n\n\n\n

Supponiamo che vogliate comprare una maglietta su internet. Mediante la tastiera scegliete il modello, il colore, la taglia e poi digitate il numero della vostra carta di credito. Nel sistema informatico succede qualcosa: il numero viene in qualche modo camuffato con dei calcoli che, per essere sicuri, devono essere molto semplici da eseguire e quasi impossibili da violare in tempi brevi. Cos\u00ec contraffatto, il numero della carta viaggia nella rete fino al sito dell\u2019azienda, la quale deve essere in grado di recuperare velocemente il codice originale per prelevare i soldi della maglietta dal vostro conto. <\/p>\n\n\n\n

Ecco, per tappe, che cosa succede. A seguire trovate un esempio numerico.<\/p>\n\n\n\n

  1. Il sito dell\u2019azienda prende due numeri primi<\/em> molto grandi: p e q, che tiene segreti ( p e q hanno entrambi un centinaio di cifre)<\/li>
  2. Il sito dell\u2019azienda calcola il prodotto tra p e q, che chiama N.  Il numero N \u00e8 reso pubblico e verr\u00e0 trasmesso al momento opportuno.<\/li><\/ol>\n\n\n\n

    N = p <\/em>\u22c5 q<\/em><\/p>\n\n\n\n

    Osserviamo che, conoscendo N, \u00e8 estremamente difficile risalire al valore di p e q. Si tratta di un\u2019operazione di fattorizzazione che richiede, vista la grandezza delle cifre, tempi molto lunghi (stazione 1)<\/p>\n\n\n\n

    3) In modo ideale, possiamo immaginare che l\u2019azienda si avvalga di un enorme orologio con N ore. <\/p>\n\n\n\n

    Il gioco di prestigio alla base del travestimento e del recupero del numero, utilizza l\u2019aritmetica dell\u2019orologio e il teorema di Eulero.<\/p>\n\n\n\n

    4) Il sito dell\u2019azienda calcola il valore b dato dal prodotto che segue <\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

    <\/p>\n\n\n\n

     b = (p-1) \u22c5(q-1)  <\/p>\n\n\n\n

    Il numero b viene tenuto segreto (per comodit\u00e0 lo chiamiamo numero di Eulero)<\/p>\n\n\n\n

    5) Il sito dell\u2019azienda costruisce i numeri che servono per la fase di codifica e di decodifica. Questi numeri sono legati tra loro, uniti da relazioni di utilit\u00e0 reciproca che possono essere comprese del tutto solo alla fine, quando i giochi sono fatti. Quelli che seguono sono dunque passaggi delicati che chiedono un iniziale atto di fiducia, oltre che un collegamento con le nozioni che richiamano. Leggete lentamente, se occorre fermatevi e ripartite. Vengono usati direttamente i risultati della stazione n. II.<\/p>\n\n\n\n

    • SI CREA IL NUMERO PER LA CODIFICA: il sito dell\u2019azienda calcola il numero E<\/em> come il primo intero che sia primo con b.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

      Dato che E \u00e8 primo con b, \u00e8 invertibile: esiste un numero D tale che il prodotto tra E e D, diviso b, d\u00e0 resto 1.<\/em><\/p>\n\n\n\n

      \"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

      Cio\u00e8 la divisione tra E\u22c5D e b produce un certo quoziente Z e avanza 1. Tra i numeri primi con b, abbiamo preso quello pi\u00f9 piccolo, per il quale il quoziente Z \u00e8 1. <\/p>\n\n\n\n

       E D : b = 1, con resto 1<\/p>\n\n\n\n

      Si pu\u00f2 scrivere anche: ED = b+1 (stazione II). <\/p>\n\n\n\n

      Cio\u00e8, dato che b \u00e8 il numero di Eulero: <\/p>\n\n\n\n

      ED =(p-1) \u22c5(q-1) +1.<\/p>\n\n\n\n

      • Il NUMERO D (che l\u2019azienda tiene segreto) verr\u00e0 USATO PER LA DECODIFICA.<\/li><\/ul>\n\n\n\n

        I numeri E e D sono stati costruiti ad arte per essere utilizzati, in successione, come esponenti del numero da camuffare (cio\u00e8 il numero della carta di credito). Il Numero E ( che \u00e8 pubblico, visibile a tutti) codifica, cio\u00e8 modifica il numero della carta in modo da renderlo irriconoscibile; il numero D (privato) decodifica: \u00e8 stato costruito in modo da sfruttare il teorema di Eulero, sapendo cio\u00e8 che la sua moltiplicazione con E avrebbe fornito l\u2019esponente di Eulero che consente di tornare alla base.<\/p>\n\n\n\n

        6) Operazione di codifica: il numero della carta di credito, m, viene elevato alla potenza E. Chiamiamo C il risultato<\/p>\n\n\n\n

         c= mE   <\/sup>numero codificato <\/p>\n\n\n\n

        Il numero mE <\/sup>viene inserito nell\u2019orologio ideale di N ore<\/p>\n\n\n\n

        La lancetta si posiziona sul resto della divisione tra mE <\/sup>e N. Questo valore (cio\u00e8 il resto) \u00e8 quello che naviga in rete, nascosto nella sua nuova forma. Un hacker che ne entrasse in possesso, avrebbe serie difficolt\u00e0 a decifrarlo. Dovrebbe ricavare il numero m alla base dell\u2019esponente, non sapendo quanti giri ha accumulato la lancetta prima di fermarsi su quel resto. <\/p>\n\n\n\n

        L\u2019unico modo per recuperare il valore di m \u00e8 utilizzare gli<\/p>\n\n\n\n

        (p-1) \u22c5(q-1)+1 passi<\/p>\n\n\n\n

        del teorema di Eulero (ricordiamo che x (<\/sup>p<\/sup><\/em>-1)(<\/sup>q<\/sup><\/em>-1)+1<\/sup>= x ). Lo scopo, pertanto, \u00e8 fare in modo che il numero di Eulero diventi l\u2019esponente di m.<\/p>\n\n\n\n

        Gli esponenti E e D sono stati creati proprio con questo intento: per codificare l\u2019azienda mette come esponente di m quel numero E che abbia un inverso D nella divisione per b (il prodotto tra E e D d\u00e0 quindi luogo al numero di Eulero).<\/p>\n\n\n\n

        7) Decodifica.<\/p>\n\n\n\n

        Per decodificare e recuperare il numero della carta (e prelevare quindi i soldi dal conto), l\u2019azienda mette alla potenza mE<\/sup> l\u2019esponente D.<\/p>\n\n\n\n

        Si calcola  C D<\/sup> , cio\u00e8 si eleva il numero C alla potenza D e si inserisce  questo valore nell\u2019orologio. Otteniamo il resto della divisione tra  C D <\/sup>ed N, che corrisponde ad m, cio\u00e8 al numero originale della carta di credito.<\/p>\n\n\n\n

        \"\"<\/figure>\n\n\n\n

        Facciamo un esempio pratico in cui vengono applicati i 7 passi dell\u2019operazione complessiva. A differenza di quanto accade nella realt\u00e0, prendiamo due numeri primi p e q molto piccoli (l\u2019esempio altrimenti diventerebbe impraticabile)<\/p>\n\n\n\n

        1. L\u2019azienda sceglie due numeri primi, per esempio<\/li><\/ol>\n\n\n\n

          p= 5, q=7 <\/p>\n\n\n\n

          che tiene segreti.<\/p>\n\n\n\n

          2) viene calcolato il valore N =  p \u22c5 q <\/p>\n\n\n\n

           N= 5\u22c5 7 = 35<\/p>\n\n\n\n

          35 viene reso pubblico.<\/p>\n\n\n\n

          3) 35 \u00e8 il numero di ore dell\u2019orologio ideale (non esiste fisicamente!) a cui ci si appoggia per la spiegazione.<\/p>\n\n\n\n

          4) Il sito dell\u2019azienda calcola il valore b dato dal prodotto che segue <\/p>\n\n\n\n

           b = (5-1) \u22c5(7-1)  <\/p>\n\n\n\n

          b= 4 \u22c5 6 = 24<\/p>\n\n\n\n

          24 \u00e8 il numero di Eulero (viene tenuto segreto)<\/p>\n\n\n\n

          5) Si costruiscono i numeri di codifica e decodifica. <\/p>\n\n\n\n

          Il sito dell\u2019azienda calcola il primo intero E che sia primo con 24, che non abbia, cio\u00e8, divisori in comune con 24.<\/p>\n\n\n\n

          Nel nostro caso, <\/p>\n\n\n\n

          E = 5<\/p>\n\n\n\n

          Il valore di E servir\u00e0 per la codifica e viene reso pubblico.<\/p>\n\n\n\n

          Si calcola poi il valore di D, inverso di E nella divisione per 24.<\/p>\n\n\n\n

          D \u00e8 quel numero che, moltiplicato per E e diviso per 24, d\u00e0 resto 1:<\/p>\n\n\n\n

          D \u22c5 5 diviso 24 deve dare resto 1<\/p>\n\n\n\n

          Troviamo quindi <\/p>\n\n\n\n

          D = 5<\/p>\n\n\n\n

          ( Infatti 5 \u22c5 5 = 25\u00a0 e\u00a0 25 : 24 = 1 con resto 1)<\/p>\n\n\n\n

          Il valore di D viene tenuto segreto perch\u00e9 servir\u00e0 per la decodifica.<\/p>\n\n\n\n

          6) Codifica. Prendiamo il numero della carta di credito m. Per comodit\u00e0 supponiamo in questo caso che sia semplicemente di una cifra.<\/p>\n\n\n\n

          Prendiamo per esempio m=3 <\/p>\n\n\n\n

          L\u2019azienda trasforma il numero m in mE<\/sup>  e chiama C il risultato.<\/p>\n\n\n\n

          Nel nostro caso C =  35<\/sup> , cio\u00e8 C = 243<\/p>\n\n\n\n

          Questo valore viene inserito nel calcolatore a orologio di 35 ore. <\/p>\n\n\n\n

          La lancetta si posiziona sul resto della divisione 243: 35, cio\u00e8 sul 33. <\/p>\n\n\n\n

          33 \u00e8 il numero in codice corrispondente a 3. Un hacker che lo intercettasse in rete, leggerebbe 33 e dovrebbe risalire a 3. <\/p>\n\n\n\n

          7) Decodifica<\/p>\n\n\n\n

          L\u2019azienda calcola C D  <\/sup>cio\u00e8 335<\/sup> e inserisce questo valore nell\u2019orologio di 35 ore.<\/p>\n\n\n\n

          Il resto della divisione tra 335 <\/sup>e 35 \u00e8 m, proprio il numero della carta di credito. <\/p>\n\n\n\n

          Adesso l\u2019azienda pu\u00f2 entrare nel vostro conto e prelevare i soldi della maglietta. Finalmente avete fatto il vostro acquisto. Quanti argomenti sono stati utilizzati, quanta matematica astratta per ottenere un risultato cos\u00ec concreto!<\/p>\n\n\n\n

          Le scoperte del passato sono servite nella nostra modernit\u00e0, mi piace sperare che la nostra societ\u00e0, quella contemporanea, sia in grado di produrre frutti utili in futuro.<\/p>\n\n\n\n

          Cos\u00ec siamo giunti a destinazione, abbiamo finito ed \u00e8 il momento dei saluti.<\/p>\n\n\n\n

          Se siete arrivati a questo punto, avete certamente una determinazione di ferro e una resistenza da eroi. Mi rivolgo dunque ai pochi (pochissimi!) superstiti, a cui offro volentieri un caff\u00e8 e una brioche per rifocillarsi dal viaggio: l\u2019avete visto il gorilla?<\/p>\n\n\n\n

          <\/p>\n\n\n\n

          <\/p>\n\n\n\n

          ——————————————————-Buone vacanze a tutti<\/em>—————————————————————————————————————————————————————————- ———- ——– —- — — — – – – – – – – – –
          <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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