{"id":1926,"date":"2021-08-08T10:30:30","date_gmt":"2021-08-08T08:30:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/?p=1926"},"modified":"2021-08-08T10:55:00","modified_gmt":"2021-08-08T08:55:00","slug":"lenigma-di-monty-hall","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/articoli\/lenigma-di-monty-hall\/","title":{"rendered":"L’enigma di Monty Hall"},"content":{"rendered":"\n

Il gioco che viene presentato in questo articolo \u00e8 noto al grande pubblico dal 1959, quando fu pubblicato da Martin Gardner nella rivista Scientific American e da lui definito splendidamente ingannevole.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Da allora \u00e8 stato ripreso pi\u00f9 volte e formulato in diverse varianti, tutte caratterizzate da formulazioni semplicissime che sorprendentemente conducevano a risultati fallaci. <\/p>\n\n\n\n

Nel 1990 Marilyn Vos Savant lo propose con tanto di soluzione in Parade Magazine<\/em>. Nonostante fosse la donna con il quoziente di intelligenza pi\u00f9 alto del mondo, certificato dal Guinness dei Primati, ricevette pi\u00f9 di diecimila lettere che sostenevano la falsit\u00e0 del risultato.<\/p>\n\n\n\n

Nel 1991 il gioco apparve sulla prima pagina del New York Times, donando all\u2019illusione cognitiva le vette pi\u00f9 alte della celebrit\u00e0. <\/p>\n\n\n\n

Tutte le volte che \u00e8 stato proposto, ha suscitato innumerevoli polemiche e un vastissimo clamore, tanto da meritare l\u2019appellativo di paradosso. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

La formulazione che segue \u00e8 nota come Problema di Monty Hall, dal nome del conduttore televisivo che nel 1963 port\u00f2 il quesito nello Show Let’s make a Deal<\/em> (cio\u00e8 mettiamoci d’accordo, concludiamo l’affare) trasformandolo in un format di grandissimo successo. <\/p>\n\n\n\n

Lo propongo oggi sul Blog di Buongiorno Matematica, accompagnato dal ragionamento per giungere alla soluzione. Chi non lo conosce pu\u00f2 divertirsi a mettere in ordine i propri pensieri e successivamente procedere alla lettura delle motivazioni. <\/p>\n\n\n\n

La maggior parte delle persone prende senza esitazione la strada della cantonata, inciampa in una trappola cognitiva collettiva ed \u00e8 costretta a rivedere le proprie certezze. <\/p>\n\n\n\n

Non avvilitevi e soprattutto non vi spazientite se le argomentazioni vi sembrano destabilizzanti: riflettere significa qualche volta saper tornare indietro per rivedere tutto sotto un\u2019altra prospettiva. <\/p>\n\n\n\n

\u00c8 proprio la caratteristica di risultare ingannevole che rende il gioco intrigante, come tutte le cose che ci sembrano in un modo e poi ci fanno cambiare idea. <\/p>\n\n\n\n

Il quesito<\/em><\/p>\n\n\n\n

Immaginate di partecipare a una trasmissione televisiva.<\/p>\n\n\n\n

Il conduttore vi mostra tre porte chiuse, identiche tra loro, e vi dice che dietro ci sono rispettivamente due capre e un\u2019automobile. Vi chiede di sceglierne una attaccandoci un cartello con la lettera x<\/em>. Se indovinate quella con l\u2019automobile, la macchina sar\u00e0 vostra; altrimenti avete perso e tornate a casa a mani vuote. <\/p>\n\n\n\n

Dopo aver rimuginato un po\u2019, spinti dal caso e dalla speranza del fortuito tentativo, scegliete una porta e attaccate il cartello. Lo scenario, a questo punto, \u00e8 dato ancora dalle tre porte chiuse, di cui una contrassegnata con la lettera x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Il conduttore sa che cosa c\u2019\u00e8 dietro ogni apertura e spalanca, davanti ai vostri occhi, una porta contenente una capra (qualsiasi sia la porta su cui avete apposto la vostra x<\/em>, sia che nasconda una capra sia che celi la macchina, ci sar\u00e0 almeno un\u2019altra porta con dietro una capra, visto che le capre sono due. Di fatto se avete posto la x<\/em> sulla porta della prima capra, che possiamo chiamare C1, lui apre quella con la seconda capra, che chiamiamo C2. Se avete scelto la porta con C2, lui apre quella con C1. Se invece avete indicato la porta con la macchina, lui apre equivalentemente la porta con C1 o quella con C2). <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Avete adesso di fronte una porta aperta, da cui si vede una capra, e due porte chiuse. Una delle due \u00e8 marchiata con la vostra x<\/em> ma non sapete se nasconda la macchina oppure la capra rimasta.<\/p>\n\n\n\n

Qui arriva il punto saliente del quesito. <\/p>\n\n\n\n

Il conduttore vi comunica che avete la possibilit\u00e0 di conservare la vostra scelta o di cambiarla, spostando la x <\/em>da una porta all\u2019atra.<\/p>\n\n\n\n

La domanda del gioco \u00e8 questa: \u00e8 pi\u00f9 conveniente cambiare, lasciare le cose come stanno oppure le due opzioni sono equivalenti?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Qualche piccola precisazione<\/em><\/p>\n\n\n\n

Chiariamo subito che quando ci viene chiesto che cosa sia pi\u00f9 conveniente fare, non va inteso che quella scelta ci porti alla vittoria sicura.<\/p>\n\n\n\n

Significa piuttosto che se potessimo ripetere il gioco 100, 1000, 10000 \u2026.100000 volte, riscontreremmo che quella opzione conduce a vincere pi\u00f9 spesso delle altre. <\/p>\n\n\n\n

Detto questo, pu\u00f2 darsi che molti di voi abbiano optato per la terza possibilit\u00e0, considerando le due alternative equivalenti. La risposta, in questi casi, \u00e8 affiancata dalla considerazione che con due porte chiuse la probabilit\u00e0 di trovare la macchina \u00e8 del 50%, quindi la scelta di cambiare \u00e8 utile quanto quella di non cambiare. <\/p>\n\n\n\n

\u00c8 la risposta giusta?<\/p>\n\n\n\n

Come avrete intuito dalle premesse, non lo \u00e8. Proveremo di seguito che \u00e8 invece vincente la strada del cambiamento, in quanto conduce alla vittoria due volte su tre.<\/p>\n\n\n\n

Il ragionamento per la soluzione<\/em><\/p>\n\n\n\n

Chi ha scommesso sul fatto che la macchina ha il 50% di probabilit\u00e0 di essere trovata, ragiona su una parte del quesito (quello che succede dall\u2019istante in cui ci vene proposto di cambiare la nostra scelta), senza considerare il testo iniziale. <\/p>\n\n\n\n

\u00c8 vero che in quel momento ci sono due porte con due entit\u00e0 differenti, una capra e una macchina (la nostra mente pare fermarsi l\u00ec), ma \u00e8 anche vero che le capre all\u2019inizio del gioco sono due mentre la macchina \u00e8 una sola. Nella prima fase, quando ci viene chiesto di attaccare il cartello con la x<\/em>, c\u2019\u00e8 evidentemente pi\u00f9 probabilit\u00e0 di trovare una capra e questo in qualche modo dovr\u00e0 pesare, visto che poi ci viene data la possibilit\u00e0 di cambiare proprio quella scelta. D\u2019altro canto, il gesto del conduttore rivela di fatto una realt\u00e0 scontata, l\u2019esistenza cio\u00e8 di una capra rimasta libera. <\/p>\n\n\n\n

Come procedere allora? <\/p>\n\n\n\n

Facciamo il punto della situazione con uno schema grafico.<\/p>\n\n\n\n

Inizialmente abbiamo tre possibilit\u00e0: le due capre C1 e C2 e la macchina M. Ciascuna di queste ha pari probabilit\u00e0 di essere scelta, che corrisponde a 1\/3.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Vediamo che cosa pu\u00f2 succedere in ciascuno dei tre casi.<\/p>\n\n\n\n

Se abbiamo scelto la porta con dietro C1 (chiaramente non lo sappiamo), il conduttore apre la porta con C2 e le porte che rimangono chiuse contengono l\u2019una C1 e l\u2019altra M. Proprio queste sono le possibilit\u00e0 che abbiamo davanti: se confermiamo la nostra scelta rimaniamo su C1, altrimenti passiamo a M. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Allo stesso modo si ragiona se la nostra prima scelta era caduta su C2: il conduttore ci mostra la porta con C1 e nelle due porte chiuse rimangono C2 e M.<\/p>\n\n\n\n

Infine, se avevamo scelto la porta contenente la macchina, il conduttore apre una delle due porte con una capra e in quelle chiuse rimangono l\u2019altra capra e la macchina.<\/p>\n\n\n\n

Il quadro completo del gioco, cio\u00e8 la totalit\u00e0 delle possibili opzioni che possiamo incontrare, \u00e8 di fatto un insieme di strade, ciascuna delle quali \u00e8 composta da due scelte in successione. <\/p>\n\n\n\n

Con un balzo del pensiero possiamo vedere ogni strada come una coppia di lettere; per esempio la coppia (C1,C1) indica la strada in cui abbiamo scelto, senza saperlo, la porta con C1 la prima volta e poi l\u2019abbiamo riconfermata quando ci \u00e8 stata data la possibilit\u00e0 di cambiare. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n\n

La coppia (C1, M) sta invece ad indicare la strada che abbiamo intrapreso se dietro la nostra porta si nascondeva C1 e poi siamo passati a quella contenente M.<\/p>\n\n\n\n

La coppia (M, C1\/C2) corrisponde alla strada in cui abbiamo trovato la macchina nella prima scelta e poi l\u2019abbiamo cambiata cadendo su C1 oppure su C2, secondo la porta che apre il conduttore (qualsiasi porta apra, sia quella che nasconde C1 che quella con C2, rimarr\u00e0 una porta chiusa con l\u2019altra capra).<\/p>\n\n\n\n

In riferimento al diagramma che abbiamo costruito, le possibili strade sono complessivamente sei, rappresentate dalle coppie<\/p>\n\n\n\n

(C1, C1), (C1, M), (C2, C2), (C2, M), (M, C1\/ C2), (M, M)<\/p>\n\n\n\n

Va da s\u00e9 che le coppie in cui le lettere sono uguali indicano le scelte riconfermate, mentre quelle con le lettere diverse rappresentano i possibili cambiamenti. <\/p>\n\n\n\n

Per rispondere al quesito, se sia pi\u00f9 conveniente cambiare, riconfermare oppure se le due opzioni siano equivalenti, analizziamo le possibilit\u00e0 di vittoria nei casi in cui abbiamo cambiato scelta e in quelli in cui non l\u2019abbiamo cambiata.<\/p>\n\n\n\n

Per vincere occorre che la seconda scelta, cambiata o riconfermata che sia, conduca alla lettera M che rappresenta appunto la macchina vinta. <\/p>\n\n\n\n

1) PRIMO CASO<\/strong>: Abbiamo cambiato scelta nei casi <\/p>\n\n\n\n

(C1,M), (C2,M), (M, C1\/C2)<\/p>\n\n\n\n

Tra questi, conducono a vittoria i casi (C1,M) e (C2, M): due casi su tre.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

2) SECONDO CASO:<\/strong> Abbiamo riconfermato la prima scelta nei casi <\/p>\n\n\n\n

(C1,C1), (C2,C2), (M,M)<\/p>\n\n\n\n

tra questi, \u00e8 vincente solo (M, M): un caso su tre.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Risulta dunque, in generale, pi\u00f9 conveniente la strada del cambiamento perch\u00e9 conduce a una probabilit\u00e0 di vittoria pari a 2\/3, contro quella della riconferma che ha probabilit\u00e0 di vittoria 1\/3.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Piccole considerazioni finali<\/em><\/p>\n\n\n\n

Pu\u00f2 darsi che chi non \u00e8 abituato a masticare simboli o linguaggi sintetici abbia fatto un po\u2019 di fatica ad associare ogni strada a una coppia di lettere. Quel passaggio, che ho definito durante la spiegazione come un balzo del pensiero, non sempre appare immediato o evidente. <\/p>\n\n\n\n

Il mio consiglio, per chi vive questa fatica come un disagio, \u00e8 quello di ripetere pi\u00f9 volte il significato dei simboli e di dotare di parole ogni passaggio dello schema. Dopo un po\u2019 tutto appare improvvisamente familiare e siamo in grado di apprezzare l\u2019utilit\u00e0 della rappresentazione che abbiamo costruito.<\/p>\n\n\n\n

Ripulire i passaggi dalle informazioni inutili non \u00e8 poi cos\u00ec dissimile all\u2019attivit\u00e0 di uno scultore quando toglie il marmo in eccesso per dar vita a una statua. Quello che rimane \u00e8 l\u2019essenza di qualcosa che abbiamo realizzato con fatica e che improvvisamente vediamo nella sua esplicita bellezza.<\/p>\n\n\n\n

Il nostro cervello, non dimentichiamolo, \u00e8 sensibile all\u2019armonia della sintesi. Dominare un problema \u00e8 un\u2019esperienza capace di trasformare il pensiero in energia; \u00e8 l\u00ec che prendiamo la forza per mettere in discussione le idee e per cambiare le cose. <\/p>\n\n\n\n

Vi auguro di vivere un’estate felice, di amare le persone che avete intorno e di avere sempre un problema con cui confrontarvi. <\/p>\n\n\n\n

La vita, a ben vedere, \u00e8 un insieme di porte da aprire con gusto. <\/p>\n\n\n\n

<\/div>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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