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In effetti, uno degli aspetti che pi\u00f9 mi ha conquistato di questa spiegazione \u00e8 stato il progressivo affaccendarsi del mio pensiero per trovare dei vocaboli che giustificassero quanto vedevo, mentre la logica del ragionamento si fondeva ora con l\u2019intuizione e ora con la memoria di concetti gi\u00e0 miei, alla ricerca di un senso.<\/p>\n\n\n\n
Quando cerchiamo di capire qualcosa, il nostro cervello fa un discreto sforzo. Senza che ce ne accorgiamo elabora, vaglia e filtra continuamente una serie di possibilit\u00e0 con lo scopo di inserire le nuove informazioni in una mappa che risulti coerente con le nostre conoscenze pregresse. Quanto pi\u00f9 i nostri saperi sono strutturati e connessi, tanto pi\u00f9 riusciamo a saltare per afferrare qualcosa di nuovo. <\/p>\n\n\n\n
Nella dimostrazione illustrata in figura, si argomenta su qualcosa di smisuratamente grande, cos\u00ec vasto da risultare inimmaginabile e che, proprio grazie alla sua sfuggevolezza, risulta massimamente affascinante. <\/p>\n\n\n\n
Lo scopo di questo articolo, per chi ha voglia di continuare nella lettura, \u00e8 quello di fornire degli strumenti utili alla comprensione o almeno, se l\u2019impresa appare troppo impegnativa, accendere una semplice scintilla di curiosit\u00e0 sull\u2019argomento.<\/p>\n\n\n\n
Nessuno pu\u00f2 sapere dove finiscono i piccoli fuochi che ci nascono dentro, personalmente penso che valga sempre la pena di ospitarli sperando che si trasformino in fal\u00f2 e dunque in emozioni.<\/p>\n\n\n\n
Iniziamo dunque il nostro piccolo viaggio verso l\u2019infinito, consapevoli del fatto che per raggiungere una meta tanto lontana abbiamo a disposizione un unico mezzo di trasporto: il nostro cervello. <\/p>\n\n\n\n
Un modo efficace di intravedere l\u2019infinito \u00e8 quello di contare, un\u2019operazione che tutti facciamo con naturalezza per esprimere una certa quantit\u00e0 di oggetti.<\/p>\n\n\n\n
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<\/figure><\/div>\n\n\n\n\u00a0Contiamo tre penne sul tavolo, venti bambini al parco, sei milioni di libri nella Biblioteca Nazionale e quattrocento miliardi di stelle nella Via Lattea: rappresentiamo la propriet\u00e0 di un certo insieme per descriverne la grandezza.<\/p>\n\n\n\n
I numeri che utilizziamo a questo scopo sono numeri Naturali, gli interi positivi che elenchiamo quando alziamo le dita delle mani per conteggiare oggetti alla nostra portata. Aggiungiamo uno<\/em> e procediamo nella successione mentre scandiamo i nomi delle cifre: pronunciamo\u00a0quattro<\/em> invece di dire \u2018uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno\u2019, sei\u00a0<\/em>al posto di \u2018uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno pi\u00f9 uno\u2019\u00a0<\/em>e 10 quando il numero di\u00a0uno\u00a0<\/em>che sommiamo corrisponde a tutte le dita delle nostre mani. <\/p>\n\n\n\n Dopo, se \u00e8 necessario, semplicemente ricominciamo il giro delle dita mentre elenchiamo quantit\u00e0 sempre pi\u00f9 grandi.<\/p>\n\n\n\n Tuttavia, nel mondo abbiamo pi\u00f9 numeri che dita e se anche decidessimo di farle alzare ripetutamente a tutti gli abitanti del pianeta per contare tutto ci\u00f2 che esiste, rimarrebbe la possibilit\u00e0 di aggiungere qualcosa in virt\u00f9 del fatto che non c\u2019\u00e8 un numero pi\u00f9 grande di tutti.<\/p>\n\n\n\n Proprio questa, l\u2019illimitata possibilit\u00e0 di aggiungere, \u00e8 il primo spiraglio di infinito che riusciamo a cogliere; un\u2019opportunit\u00e0 che abbiamo conosciuto nel concreto delle operazioni e che dobbiamo estendere oltre le nostre possibilit\u00e0 di comprensione; cos\u00ec smisurata nelle sue sfaccettature da richiamare Dio. <\/p>\n\n\n\n Godetevi questo passaggio, perch\u00e9 con un balzo siamo passati dalla Matematica alla spiritualit\u00e0, a conferma del fatto che il nostro cervello si nutre di sensazioni emotive oltre che di pensieri logici, anche quando l\u2019argomento \u00e8 decisamente razionale.<\/p>\n\n\n\n \u00c8 probabile che proprio l\u2019infinit\u00e0 di Dio, cos\u00ec come era rappresentata nella Cabala, abbia condizionato l\u2019immaginazione di Georg Cantor, il matematico di origini ebraiche che alla fine del IX secolo rivoluzion\u00f2 il concetto di infinito per portarlo, dall\u2019estrema lontananza, a una presenza reale. <\/p>\n\n\n\n Cantor fondava la sua idea su un concetto tutto sommato semplice, quello di corrispondenza\u00a0uno a uno<\/em> tra gli elementi di insiemi diversi.<\/p>\n\n\n\n Facciamo un esempio e immaginiamo di entrare in un bar dove ha preso il caff\u00e8 un certo gruppo di persone, appena uscite dal locale. Vediamo sul tavolo tante tazzine e tanti cucchiaini, ma per sapere se sono in egual numero non abbiamo bisogno di contarli: se ogni cucchiaino \u00e8 affiancato a una tazzina, sappiamo a priori che sono esattamente della stessa quantit\u00e0. Se invece, dopo tutti gli accoppiamenti, rimane una tazzina senza cucchiaino, significa che l\u2019insieme delle tazzine \u00e8 pi\u00f9 numeroso di quello dei cucchiaini. <\/p>\n\n\n\n Se lo stesso tipo di corrispondenza uno a uno<\/em>, esattamente come quella tra tazzine e cucchiaini, pu\u00f2 essere stabilita tra un insieme qualunque e quello dei numeri Naturali, quell\u2019insieme viene detto numerabile<\/em>: i suoi elementi sono tanti quanti sono i Numeri Naturali (ovviamente si tratta di un insieme infinito) e per questo li possiamo enumerare. <\/p>\n\n\n\n Fin qui ci sembra tutto abbastanza comprensibile. Abbiamo chiaro nella nostra testa il legame tra tazzine e cucchiaini e non incontriamo troppe difficolt\u00e0 a pensare che se avessimo un numero infinito di tazzine, queste potrebbero essere messe in corrispondenza\u00a0uno a uno<\/em> con i numeri che usiamo per contare.\u00a0<\/p>\n\n\n\n Basta a definire l\u2019infinito? Ovviamente no. Cos\u00ec come si pu\u00f2 stabilire, all\u2019ingresso del bar, che le tazzine sono tante quanti sono i cucchiaini senza ricorrere alla necessit\u00e0 di contarli, allo stesso modo Cantor fornisce un metodo per decidere se un insieme \u00e8 infinito senza dover elencare tutti gli elementi e senza richiamare l\u2019idea di un procedimento senza fine. <\/p>\n\n\n\n La definizione di Cantor, bella e destabilizzante, \u00e8 riportata qui sotto. Leggetela con calma e prendetevi il tempo di increspare la fronte mentre cercate di comprenderla. Ogni ruga \u00e8 sopportabile, se deriva da un pensiero.<\/p>\n\n\n\n UN INSIEME \u00c8 INFINITO SE \u00c8 POSSIBILE METTERLO IN CORRISPONDENZA\u00a0UNO A UNO<\/em> CON UN SUO SOTTOINSIEME.\u00a0<\/p>\n\n\n\n Se siete stati colti da un improvviso senso di smarrimento, siete certamente in buona compagnia.<\/p>\n\n\n\n Tra le nostre convinzioni, c\u2019\u00e8 il fatto che un insieme ha pi\u00f9 elementi di ogni suo sottoinsieme; come fanno allora i due ad essere legati da una corrispondenza\u00a0uno a uno<\/em>? Evidentemente, negli insiemi infiniti accadono cose che noi, abituati a maneggiare oggetti di dimensioni finite, facciamo fatica a cogliere.<\/p>\n\n\n\n Facciamo un esempio per capire come possa essere fatta una relazione di questo tipo.<\/p>\n\n\n\n Creiamo una corrispondenza che associa a tutti i numeri naturali i soli numeri pari.<\/p>\n\n\n\n Per farlo, utilizziamo un procedimento che prende ogni numero naturale e semplicemente lo raddoppia.<\/p>\n\n\n\n Si tratta evidentemente di una corrispondenza\u00a0uno a uno<\/em> perch\u00e9 ciascun numero naturale viene mandato in un elemento diverso e, allo stesso tempo, nessun numero naturale rimane inutilizzato.<\/p>\n\n\n\n Ecco dunque un primo sorprendente risultato: nel mare dell\u2019infinito, i concetti di grande e di piccolo assumono un altro significato: il legame \u201cuno a uno\u201d porta presto a dire che gli elementi dei due insiemi sono \u201ctanti, quanti\u201d purch\u00e9 si tratti di infiniti della stessa specie, che in questo articolo corrisponde a quella della numerabilit\u00e0. <\/p>\n\n\n\n Questa considerazione apre nuovi scenari sulle operazioni che normalmente utilizziamo. Se indichiamo con N l\u2019infinito dei numeri naturali, avremo per esempio che <\/p>\n\n\n\n N + 1 = N<\/p>\n\n\n\n Il che significa che se aggiungiamo 1 all\u2019infinit\u00e0 dei numeri naturali, otteniamo ancora la stessa infinit\u00e0. Similmente possiamo aggiungere a N un numero n qualsiasi: <\/p>\n\n\n\n N + n = N<\/p>\n\n\n\n O addirittura tutto se stesso: <\/p>\n\n\n\n N + N = N<\/p>\n\n\n\n Se avessimo letto queste relazioni fuori contesto, le avremmo giudicate inverosimili perch\u00e9 contravvengono alle leggi dell\u2019algebra. <\/p>\n\n\n\n Anche con la moltiplicazione succedono cose irragionevoli, non usciamo da N se lo moltiplichiamo per un qualsiasi intero positivo<\/p>\n\n\n\n N x n = N<\/p>\n\n\n\n e nemmeno per se stesso:<\/p>\n\n\n\n N x N = N<\/p>\n\n\n\n Dunque\u00a0infinite volte infinito<\/em>, che \u00e8 rappresentato dalla scritta N x N, non \u00e8 pi\u00f9 grande di infinito, come invece avremmo potuto pensare di primo acchito.<\/p>\n\n\n\n Infinite volte infinito<\/em> \u00e8 ancora lo stesso infinito.<\/p>\n\n\n\n Proprio questo \u00e8 il risultato che vogliamo dimostrare e adesso abbiamo le parole per farlo. <\/p>\n\n\n\n Riprendiamo dunque l\u2019immagine da cui siamo partiti. <\/p>\n\n\n\n Abbiamo capito che per provare che \u201cinfinite volte infinito\u201d ha la stessa numerosit\u00e0 \u201cuna volta infinito\u201d, cio\u00e8 dei numeri Naturali, occorre stabilire con questo una corrispondenza\u00a0uno a uno<\/em>.\u00a0<\/p>\n\n\n\n Di fatto, dovremmo trovare il modo di mettere in fila i termini di una tabella che ha infinite righe e infinite colonne, in modo da associare a ogni elemento della sequenza un numero naturale.<\/p>\n\n\n\n Con un nastro immaginario, percorriamo la tabella in diagonale, avendo cura di coprire ogni elemento. Come sono belli i nastri! Volteggiano e assumono la forma dell\u2019aria. Il nostro nastro \u00e8 liscio e luminoso, accarezza ogni elemento e lo trattiene a s\u00e9. Ci accertiamo di aver compreso come si dispone e poi\u2026 ZAC! Lo stendiamo con mossa repentina. <\/p>\n\n\n\n I nostri occhi adesso sono tutti su di lui, ha in mano gli elementi della tabella e anche la nostra fantasia.<\/p>\n\n\n\n Eccoli l\u00ec i bottoni di \u201cinfinite volte infinito\u201d: diritti, fieri e allineati, pronti a farsi enumerare. <\/p>\n\n\n\n Non somigliano, forse, alle infinite tazzine che avevamo abbinato con i numeri Naturali?<\/p>\n\n\n\n Sembrerebbe proprio di s\u00ec. Il mondo dell\u2019infinito non distingue gli oggetti, semplicemente li accoglie.<\/p>\n\n\n\n Si dice che quello di Cantor sia un infinito di tipo attuale, possibile da comprendere, interamente posseduto. Noi l\u2019abbiamo acchiappato con un nastro, a dimostrazione del fatto che in nastri catturano pi\u00f9 delle catene.<\/p>\n\n\n\n Se siete ancora qui, a scorrere le parole sullo schermo, avete dimostrato resistenza e fantasia. Siete arrivati in fondo al viaggio e avete varcato la prima soglia dell\u2019infinito.<\/p>\n\n\n\n Si potrebbe aggiungere che questo \u00e8 l\u2019infinito meno numeroso e che altri si sviluppano su livelli diversi come i cerchi concentrici di un tempio divino. <\/p>\n\n\n\n Noi oggi ci fermiamo qui, solitamente i viaggi di questo tipo consumano le suole dei neuroni. Potete finalmente stendere la fronte e increspare le labbra: ogni ruga \u00e8 sopportabile, se proviene da un sorriso.<\/p>\n\n\n\n In un libro di recente pubblicazione ho trovato questa dimostrazione senza parole. Mi \u00e8 piaciuta cos\u00ec tanto che ho deciso di scriverci un articolo sperando di non togliere, con il mio parlato, la poesia...<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1982,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[54],"class_list":["post-1985","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-articoli","tag-infinito"],"yoast_head":"\n![\"\"](\"https:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/Copia-di-lavagna.jpg\")
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