Faccio un passo indietro per inquadrare quanto detto e apro una parentesi sugli assiomi. Gli assiomi sono un po\u00b9 gli ingredienti fondamentali di un ambito di ricerca matematico, vengono fissati e presi per buoni una volta per tutte, accreditati da alcune propriet\u00e0 che devono soddisfare e, magari, dalla\u00a0loro evidenza (si possono utilizzare sistemi di assiomi alternativi, ma avremo davanti una teoria diversa da quella di partenza). Dagli assiomi, mediante procedimenti deduttivi corretti, si ottengono i teoremi, cio\u00e8 dei risultati che evidenti non sono.\u00a0Sono assiomi della Geometria Euclidea, per esempio, il fatto che per due punti passa una sola retta oppure che ogni retta ammette una retta parallela che passa per un punto esterno ad essa.\u00a0\u00c8\u00a0un teorema, invece, il fatto che due rette parallele ad una terza retta sono parallele tra di loro.\u00a0 Quest\u2019ultimo \u00e8 infatti un risultato che pu\u00f2 essere provato mediante una dimostrazione, cio\u00e8 mediante un ragionamento costruito a partire dagli assiomi.\u00a0 Assiomi e teoremi, insieme alle definizioni, costituiscono una teoria. Va da s\u00e9 quindi che ogni teoria ha i propri assiomi, le proprie definizioni e i propri teoremi, ricavati deduttivamente da questi (Il ragionamento deduttivo \u00e8 infatti quello che preserva la verit\u00e0 degli assiomi).<\/p>\n
Potrebbe sembrare che il teorema di G\u00f6del dica allora che, comunque si scelgano gli assiomi di partenza per costruire una teoria, questi non saranno sufficienti a garantire che si possa dire, di ogni affermazione interna alla teoria, se questa \u00e8 vera o \u00e8 falsa.<\/strong> \u00a0Ci si pu\u00f2 chiedere che forma possa avere un\u2019affermazione che non risulta essere vera n\u00e9 falsa; \u00e8 possibile farsi un\u2019idea nel linguaggio comune pensando alla frase \u2018sto mentendo<\/i>\u2019, nota\u00a0 fin dall\u2019antichit\u00e0 come il paradosso del mentitore. Se mento, infatti, dico la verit\u00e0; mentre se dico la verit\u00e0, allora per quanto detto sto mentendo.<\/p>\n Ma i risultati di G\u00f6del mostrano dunque che ci sono enunciati veri e\u00a0<\/i>indimostrabili<\/i>? Pongo la questione a Francesco, questa \u00e8 la sua risposta:<\/p>\n \u2018C\u2019\u00e8 molto accordo sul fatto che i risultati di incompletezza di G\u00f6del\u00a0mostrano che la verit\u00e0 matematica eccede, in un qualche senso, la\u00a0dimostrabilit\u00e0 formale. In quale senso esattamente la ecceda, \u00e8 un\u00a0problema.\u00a0Quando i matematici parlano di \u2018dimostrabilit\u00e0\u2019 nel loro senso intuitivo e\u00a0informale, di solito assumono semplicemente che la dimostrabilit\u00e0 sia\u00a0fattiva: se si dimostra P, allora P \u00e8 \u2018vero\u2019. Questa nozione intuitiva e informale di dimostrazione, dati i risultati di G\u00f6del, eccede le capacit\u00e0 di \u2018cattura\u2019 di qualsiasi singolo sistema formale. E questo \u00e8 connesso al fatto che, perch\u00e9 un sistema S conti come un sistema formale, S deve obbedire a precise restrizioni di computabilit\u00e0. In particolare, occorre che sia possibile riconoscere in un numero finito di passi la validit\u00e0 di una dimostrazione (in termini tecnici si dice che S \u00e8 un autentico sistema formale se, data una presunta deduzione in S di una formula B a partire da un insieme di formule A1, A2, \u2026 An, \u00e8 possibile decidere algoritmicamente, cio\u00e8 meccanicamente, se quella sia davvero una dimostrazione in S di B a partire da A1, \u2026, An, o meno).\u00a0Tuttavia, una volta acquisiti i risultati G\u00f6deliani di incompletezza,\u00a0 ci\u00f2 che non \u00e8 dimostrabile n\u00e9 refutabile (dunque indecidibile) in un sistema di assiomi S1 potrebbe essere dimostrabile in un altro sistema S2.\u00a0\u00c8 una questione controversa se ci siano verit\u00e0 assolutamente indimostrabili, nel senso che non sono derivabili in alcun sistema coerente\u2019.<\/p>\n Mi fermo sulle ultime cose dette:\u00a0 la nozione di dimostrazione, come la intendiamo noi, non consente la cattura di un sistema di assiomi. Di fatto significa questo: potrebbe esserci qualche affermazione che coinvolge quegli assiomi e che non \u00e8 dimostrabile in un numero finito di passaggi.\u00a0<\/strong> All\u2019interno di ogni sistema, esistono dunque problemi che non possono essere risolti e per comprenderli bisogna spostarsi in un sistema pi\u00f9 grande nel quale ci saranno a loro volta problemi irrisolti e cos\u00ec via, come se ogni sistema fosse la bambola intermedia di una matrioska infinita.<\/strong> La nostra possibilit\u00e0 di dimostrare non consente di verificare o confutare tutte le affermazioni che possono essere create mescolando gli ingredienti-base della teoria, cio\u00e8 gli assiomi. Il termine catturare<\/em> mi richiama alla mente l\u2019idea della sfida; \u00e8 una gara impari e spregiudicata quella che porta l\u2019uomo a confrontarsi con la propria mente, sede naturale della prassi matematica. Oppure la matematica esiste da qualche parte fuori e noi utilizziamo il pensiero come unico strumento per vederla?<\/p>\n Francesco riprende il discorso per far luce sulle mie osservazioni: \u2018G\u00f6del, che era un platonista matematico convinto, pensava che le entit\u00e0 matematiche esistessero per conto loro, come le idee platoniche, indipendentemente dalle nostre costruzioni e dimostrazioni; e che fare matematica fosse \u2014 per usare un\u2019immagine di Hardy \u2014 esplorare questo territorio intelligibile. Seguendo G\u00f6del, alcuni (ad esempio, Roger Penrose) ritengono sensato sostenere che possiamo intuire o cogliere con una specie di intuizione intellettuale, o usando\u00a0ragionamenti non finitari, verit\u00e0 che eccedono inevitabilmente la\u00a0dimostrabilit\u00e0 formale, ma questo \u00e8 controverso ed \u00e8 dubbio che G\u00f6del la\u00a0pensasse esattamente cos\u00ec\u2019.<\/p>\n Riprendo la parola e osservo che il teorema di incompletezza in qualche modo mina le nostre certezze.\u00a0 Ci sono verit\u00e0 non dimostrabili con i presupposti da cui partiamo<\/i>. Volendo portare il discorso fuori dall\u2019ambito matematico, mi viene da pensare che c\u2019\u00e8 sempre qualcosa che ci sfugge, qualcosa che non riusciamo ad afferrare e alla fine, bene o male, ci ridimensiona.<\/p>\n Mi giro verso Giacomo per chiedergli di commentare questo risultato dal punto di vista psicologico; lui dice cos\u00ec:<\/p>\n \u2018Sicuramente c\u2019\u00e8 qualcosa che sfugge al nostro calcolo razionale e ci ridimensiona. Non possiamo ridurre la nostra vita ad un calcolo razionale dei pro e dei contro, dei vantaggi e dei rischi, dei benefici e delle perdite. C\u2019\u00e8 un filo rosso emotivo che scorre sotto alle nostre legittime costruzioni di senso e alle nostre scelte, e direi, per fortuna che \u00e8 cosi. La stessa origine della vita si fonda su un atto d\u2019amore, che se ne infischia delle nostre teorie. La psicoanalisi di Freud parla di inconscio; di un\u2019altra scena che detiene la verit\u00e0 e si manifesta nei sogni, nei lapsus, nelle nostre dimenticanze quotidiane. Altri approcci pi\u00f9 esistenzialisti parlano di una tensione all\u2019autorealizzazione dell\u2019uomo verso valori sempre pi\u00f9 elevati che confinano con la spiritualit\u00e0. In particolare, sono molto legato a due concetti, quello di area transizionale di Winnicott e di desiderio di Lacan. Secondo il primo, la nostra creativit\u00e0 si produce nella zona di mezzo tra il seno materno e il mondo; quello spazio a cavallo tra sogno e realt\u00e0 che abbiamo cominciato ad esplorare quando ci siamo separati dal seno materno e che \u00e8 la sede della nostra ricerca di un senso e della nostra curiosit\u00e0 culturale. Forse, anche del desiderio di cui parla Lacan, che per essere tale non si ancora mai a nessun \u201coggetto\u201d ma migra costantemente, per tutta la vita, facendoci sentire incompleti ma vivi\u2019.<\/p>\n Mi inserisco nel discorso per fare una considerazione a voce alta sulla curiosit\u00e0 di questo inconsapevole scambio di battute. G\u00f6del ha dimostrato l\u2019incompletezza; Lacan, nello stesso periodo, ha risposto senza saperlo a questa provocazione dicendo che siamo incompleti ma vivi. Immagino che G\u00f6del avrebbe potuto controbattere, con uno slancio di ironia, che per provare questa verit\u00e0 siamo dovuti uscire dal sistema della Logica entrando in quello della Psicologia.<\/p>\n Rientro nei ranghi della conversazione credibile e mi avvio al termine di questa chiacchierata a tre. Prima di andare, per\u00f2, voglio rivolgere un\u2019ultima domanda a Francesco\u00a0 e a Giacomo (chiss\u00e0 quando mi ricapita!) e chiedo loro di parlare delle differenza tra paradosso e contraddizione.<\/i> Francesco risponde cos\u00ec:<\/p>\n \u2018Di solito si definisce un paradosso come un argomento che muove da\u00a0premesse che appaiono intuitive o plausibili, e attraverso procedimenti logici che appaiono a loro volta plausibili e corrette, giunge a una conclusione implausible, controintuitiva, o anche assurda. Naturalmente cosa conti come plausibile, intuitivo, etc., \u00e8 questione di gradi e contesti. Cos\u00ec\u00a0anche la paradossalit\u00e0 di un paradosso \u00e8 questione di gradi e contesti:\u00a0pi\u00f9 le premesse e li procedimenti logici ci sembrano giusti, in una certa situazione, ma la conclusione \u00e8 sbagliata, pi\u00f9 l\u2019argomento \u00e8 paradossale\u2019.<\/p>\n Interrompo Francesco e mi fermo su quanto ha detto: un paradosso \u00e8 un ragionamento che parte da premesse plausibili e, senza sapere dove inciampa, arriva a conclusioni assurde.<\/strong>\u00a0 Mi viene in mente l\u2019immagine di una libellula peruviana che tutti i giorni fa lo stesso percorso nella campagna in cui vive. Tre metri a destra, due metri a sinistra, si alza in quota e arriva alla staccionata verde. Un giorno trova sul suo cammino un elicottero che \u00e8 atterrato d\u2019emergenza per dei controlli al motore e che riparte con l\u2019insetto a bordo.\u00a0 La libellula, ignara, si riposa e poi inizia il suo solito tragitto: tre metri a destra, due metri a sinistra, si alza in quota e si ritrova\u2026 in Liguria.\u00a0 Non sa che cosa ha sbagliato ma la conclusione non torna con le premesse, \u00e8 decisamente assurda.<\/p>\n Francesco torna sull\u2019argomento per ampliare il concetto e fare alcune precisazioni. Ecco le sue parole:\u00a0\u2018A volte si caratterizza un \u2018paradosso\u2019, pi\u00f9 strettamente, come la\u00a0conclusione di un argomento paradossale. La conclusione in questione pu\u00f2\u00a0essere una contraddizione, come no. Una contraddizione \u00e8 una coppia o una\u00a0congiunzione di enunciati, tali che uno \u00e8 la negazione dell\u2019altro (\u2018Roma \u00e8\u00a0in Italia e Roma non \u00e8 in Italia\u2019).\u00a0 Alcuni argomenti paradossali hanno per\u00a0conclusione vere e proprie contraddizioni (ad esempio il famoso paradosso\u00a0di Russell, in cui da certi principi apparentemente buoni della cosiddetta\u00a0\u2018teoria ingenua degli insiemi\u2019 si deduce l\u2019esistenza di un insieme che\u00a0appartiene e non appartiene a se stesso).\u00a0Altri paradossi hanno conclusioni non contraddittorie, ma che\u00a0semplicemente sfidano la nostra intuizione. Ad esempio, il teorema di\u00a0Banach-Tarski viene spesso chiamato \u2018paradossale\u2019 perch\u00e9 sfida certe\u00a0nostre intuizioni molto forti sulla costituzione degli oggetti materiali\u00a0(come fa UNA sfera a essere decomposta e ricomposta in DUE sfere identiche\u00a0all\u2019originale??). Ma non \u00e8 certo un risultato inconsistente (\u00e8 un\u00a0teorema!). Spesso risultati controintuitivi costituiscono grandi progressi\u00a0nella scienza e nella matematica: ci spingono a rivedere cose che\u00a0prendevamo per acquisite, e rivoluzionano i nostri schemi concettuali\u2019.<\/p>\n Guardo Giacomo e gli chiedo se esistono i paradossi in psicologia.\u00a0<\/i><\/p>\n \u2018<\/i>Paradossi e contraddizioni esistono nella vita e quindi anche in psicologia.\u00a0 Il conflitto interno, che \u00e8 uno dei concetti centrali intorno a cui si \u00e8 interrogata la psicologia dinamica, cio\u00e8 quella branca che studia il flusso degli aspetti emotivo-affettivi, per certi aspetti pu\u00f2 essere considerato una contraddizione. Qualche esempio? Voglio andare al mare ma preferisco il relax della montagna. Voglio stare insieme a quella persona ma sto diventando sempre pi\u00f9 insofferente nei confronti di certe sue abitudini. Vorrei mangiare il dolce ma quest\u2019estate voglio superare alla grande la prova costume. L\u2019ambivalenza umana \u00e8 il regno della contraddizione e dei conflitti. Abbiamo dimostrazione continua di come molte nostre scelte ed azioni, anche le pi\u00f9 importanti, non siano l\u2019esito di una programmazione logica ma, molto pi\u00f9 spesso, di una faticosa valutazione che si fonda sull\u2019ambivalenza. Di nuovo, la questione alla base della nostra serenit\u00e0 sta spesso nel trovare soluzioni che sono a volte di compromesso e a volte di integrazione tra diversi elementi della nostra personalit\u00e0, senza comprimerli o negarli e comunque diventando consapevoli delle loro molteplici sfaccettature. Riguardo ai paradossi, c\u2019\u00e8 una lunga tradizione di pensiero, nata con il pensiero sistemico a partire da Bateson e Watzlawick, che addirittura arriv\u00f2 ad ipotizzare che certe forme gravi di patologia mentale come la schizofrenia possano rappresentare l\u2019esito di ripetute e protratte ingiunzioni paradossali che impediscono alla persona di comprendere a quale dei due messaggi implicati in una comunicazione ubbidire. Ad esempio, il famoso: \u201csii spontaneo\u201d. Oppure, il: \u201cdai retta a me: fai come desideri tu\u201d. Che devo fare? Si chiede il ricevente. Se ubbidisco, non sono spontaneo. E se sono spontaneo, non ubbidisco\u2026\u2019.<\/p>\n \u00c8 il momento dei saluti.<\/p>\n Ringrazio con tutto il cuore Francesco e Giacomo che si sono prestati con competenza e allegria a questo gioco di confronto e di condivisione. Le loro voci hanno suonato insieme e sono diventate un piccolo grande coro.<\/p>\n Quanto a voi, immagino che non sia stato banale seguire il filo di questa conversazione schizofrenica che ha chiamato in causa ambiti e argomentazioni tanto diversi tra loro.\u00a0 In effetti, se siete arrivati in fondo e state leggendo queste ultime righe siete proprio degli eroi. E gli eroi, si sa,\u00a0 hanno nelle vene massicce dosi di istinto e ragione che si fondono in girotondi prodigiosi per poi riemergere incredibilmente immutati.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/IMG_1508-15-07-17-03-16.jpg\")
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