![\"\"](\"http:\/\/www.buongiornomatematica.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/12\/ReuleauxTriangle.png\")
<\/a><\/p>\n\u201cGiusto; anche se gli cambiamo orientamento, cambiano i punti di contatto, ma sono sempre quattro e appartengono a rette parallele. Ora per\u00f2 cominciamo, non volevo deviare il discorso con una cosa inutile, che non ha nulla a che fare con l\u2019intervista\u201d.<\/p>\n
\u201cSai – mi intrometto io – le cose belle della vita spesso sono quelle inutili\u201d.<\/p>\n
Lui mi guarda e ride: \u201cNon potrei essere pi\u00f9 d\u2019accordo\u201d.<\/p>\n
Cos\u00ec inizia la nostra conversazione, mentre io indugio ancora qualche secondo sull\u2019idea di un triangolo che si inarca sui lati ed \u00e8 capace di toccare sempre un quadrato in quattro punti.\u00a0 Non riesco a trattenere il pensiero e mi immagino un gatto che si gonfia sul dorso per sembrare un leone.<\/p>\n
Tiro fuori un foglio su cui avevo appuntato qualche domanda e prendo la parola.<\/p>\n
\u201cCominciamo con un po\u2019 di storia, giusto per inquadrare la situazione.\u00a0 La costruzione della cupola inizia dopo che, verso il 1415, sono terminati il campanile, le navate, l\u2019abside della cattedrale e il tamburo sottostante. Nel 1420 a Ghiberti ed a Brunelleschi viene affidata la direzione del cantiere e cominciano a lavorare insieme; successivamente sarebbe rimasto solo Brunelleschi a soprintendere i lavori. La Cupola avrebbe avuto dimensioni impressionanti e coloro che le avevano stabilite, pi\u00f9 di cinquant\u2019anni prima, non si erano preoccupati del modo con cui realizzarla. La prima cosa che volevo chiederti \u00e8 proprio questa: \u00c8 possibile che cominciassero a lavorare senza aver pianificato il modo con cui edificare una costruzione tanto imponente?\u201d<\/strong><\/p>\n \u201cPossibilissimo- dice lui- era una cosa ricorrente a quei tempi. La costruzione delle chiese gotiche spesso durava secoli e chi la iniziava non sempre sapeva come sarebbe finita. Inoltre, oggi possiamo ammirare le opere architettoniche che sono arrivate a noi, ma quante sono state abbandonate per crolli o altro! Anche la meravigliosa cupola di Santa Sofia a Istanbul ha avuto vari cedimenti. Pensa alla cattedrale di Beauvais, in Francia. Dopo la sua costruzione il coro rovin\u00f2; fu ricostruito ma, successivamente, croll\u00f2 la torre posta sopra la crociera. La chiesa \u00e8 rimasta incompleta: quella attuale \u00e8 composta soltanto dal coro, dal transetto e dalla prima campata della navata\u201d.<\/p>\n Fa una pausa e poi aggiunge:<\/p>\n \u201cNon hai letto \u2018I pilastri della terra\u2019 di Ken Follet?\u201c<\/p>\n \u201cNo, non l\u2019ho letto\u201d, rispondo.<\/p>\n \u201cBeata te! Io me lo sono gi\u00e0 \u2018giocato\u2019 e l\u2019ho letto due volte; pagherei per avere di nuovo lo stupore della prima lettura. Insomma, in quel libro si racconta proprio questo: nel passaggio dall\u2019arte Romanica a quella Gotica succedeva che molti templi cadessero per difetti strutturali e, talvolta, non si sapeva come porvi rimedio. La stessa cosa accadeva in Italia: si procedeva nella costruzione e si sperava che andasse tutto bene. La costruzione di grandi opere rispondeva all\u2019esigenza di mostrare grandezza e magnificenza da parte di una citt\u00e0; erigere chiese e palazzi era un modo per stupire gli stati vicini e per ostentare la propria forza e la propria ricchezza. Quanto pi\u00f9 le costruzioni erano grandi e belle, tanto pi\u00f9 portavano gloria e fama alla citt\u00e0 intera. Succedeva cos\u00ec che, qualche volta, i committenti facessero il passo pi\u00f9 lungo della gamba nel tentativo di risultare migliori. Il Duomo di Siena, per esempio, fu ampliato per renderlo pi\u00f9 grande, emulando quello di Firenze; tuttavia, durante i lavori ci furono cedimenti strutturali che portarono all\u2019abbandono del progetto di ampliamento. Probabilmente tutto questo fu la fortuna dei fiorentini, chiamati in soccorso dai senesi (incredibile!).\u00a0 In quel periodo anche a Firenze si stavano costruendo le navate della cattedrale e fu deciso di erigere ampie campate quadrate al posto di quelle rettangolari, pi\u00f9 strette, tipiche del gotico francese. Pensa te, in questo modo lasciavano sotto ciascuna delle quattro volte della navata centrale uno spazio vuoto di circa 20 metri per 20 metri, una struttura di ampio respiro! Tenendo conto di quanto era successo a Siena, capirono che la cattedrale di Firenze rischiava di finire nello stesso modo e presero provvedimenti. Alzarono le fiancate del duomo, posero delle catene di ferro e misero dei contrafforti nascosti: il trucco c\u2019era ma non si doveva vedere. Furbissimi!\u201d<\/p>\n Riprendo io la parola per fare una considerazione.<\/p>\n \u201cDa quello che dici capisco che non si parlava ancora di Scienza delle Costruzioni, la teoria che usa strumenti fisici e matematici per stabilire le leggi che garantiscano strutture resistenti\u201d<\/strong>.<\/p>\n \u201cNo certo, la Scienza delle Costruzioni \u00e8 arrivata molto dopo: possiamo dire che inizi\u00f2 con Galileo, il quale, nel lontanissimo 1638, propose le prime formule teoriche della resistenza a rottura di travi inflesse; il concetto di modello prima era quasi esclusivamente geometrico. Brunelleschi \u00e8 stato un grande, ha anticipato alcuni aspetti pratici della Scienza delle Costruzioni di circa due secoli. Lui, per\u00f2, non si basava su calcoli statici: diciamo che i suoi punti di forza erano l\u2019esperienza e un intuito da genio\u201d.<\/p>\n \u201cArriviamo alla cupola; – riprendo io – a livello architettonico\u00a0 \u00e8 formata da due calotte, due cupole poste l\u2019una dentro l\u2019altra e separate da un\u2019intercapedine. Come mai?<\/strong>\u201d<\/p>\n \u201cQuesta struttura doppia ha molte funzioni. La cupola interna \u00e8 a quinto acuto, fermiamoci un attimo su quella. Si dice che un arco \u00e8 a \u2018sesto di quinto acuto\u2019 se per realizzarlo si ricorre a questa costruzione geometrica che ora ti racconto. Per prima cosa si divide la lunghezza del diametro alla base in 5 segmenti uguali. Poi si tracciano due archi puntando il compasso rispettivamente sulle prime due tacche, una a destra e l\u2019altra a sinistra, con un\u2019apertura tale da arrivare all\u2019estremo finale del segmento: per questo si dice a quinto acuto\u201d.<\/p>\n Prende il foglio e disegna un segmento orizzontale per farmi capire. Traccia 6 tacche (quattro interne e due alle estremit\u00e0 del segmento) in modo da dividerlo in 5 parti; poi punta il pollice sulla prima tacca interna a partire da sinistra e ruota l\u2019indice sul foglio come se fosse un compasso e con la matita disegna l\u2019arco. Dopo punta il pollice sulla prima tacca interna che si trova dall\u2019altra parte, a destra, e fa la stessa cosa in direzione opposta. Quello che risulta sul foglio \u00e8 in effetti molto simile al profilo di una cupola.\u00a0 Mi passa il foglio e riprende.<\/p>\n \u201cLa cupola esterna, invece, \u00e8 a \u2018sesto di quarto acuto\u2019. Il procedimento per disegnarla \u00e8 uguale, solo che la base viene divisa in quattro parti invece che in cinque: per questo si chiama a quarto acuto\u201d.<\/p>\n Cos\u00ec disegna anche la cupola estera.<\/p>\n \u201cI due gusci sono collegati da delle nervature in corrispondenza dei costoloni intermedi e quelli di spigolo. La cupola esterna con questo accorgimento scarica il peso su quella interna, che \u00e8 quella portante, e la struttura complessiva diventa pi\u00f9 leggera, ma anche pi\u00f9 resistente di un\u2019analoga cupola a sezione piena. \u00c8 una modalit\u00e0 costruttiva che consente di ottenere la maggior resistenza col minore impiego di materiale. Inoltre, come dice lo stesso Brunelleschi, la cupola esterna protegge dalle intemperie quella interna. \u00a0Poi c\u2019\u00e8 un altro fatto: lo spazio fra le due cupole oggi consente ai turisti di salire fino in cima\u201d.<\/p>\n Si mette a ridere e io con lui.<\/p>\n Faccio dentro di me il punto della situazione per scrivere quanto mi ha detto: due cupole separate da un\u2019intercapedine vuota rafforzano la struttura e pesano meno di una cupola piena<\/em>.<\/p>\n Lui fa uno schizzo sul foglio e dice:<\/p>\n \u201cVedi, la sagoma della cupola contiene perfettamente una catenaria ribaltata. Che cosa conosci della catenaria?\u201d mi chiede.<\/p>\n \u201cSo che \u00e8 una curva che assomiglia a una parabola, tanto che all\u2019inizio si pensava che fossero la stessa cosa. \u00c8 la forma di una collana, senza ciondoli, che portiamo appesa al collo; quella della catena tenuta per le estremit\u00e0 e lasciata penzolare\u201d, rispondo io.<\/p>\n \u201cEsatto- dice lui- in realt\u00e0 assomiglia alla parabola solo in prossimit\u00e0 del vertice, poi, allargandosi, diventano pi\u00f9 distinguibili.<\/p>\n \u201cPerch<\/strong>\u00e9 <\/strong>Brunelleschi progetta una struttura sagomata sulla catenaria e non sulla parabola? Qual \u00e8 il vantaggio<\/strong>?\u201d chiedo io.<\/p>\n \u201cIl vantaggio \u00e8 che la catenaria \u00e8 la curva migliore per una struttura che deve reggere solo il proprio peso. Ti faccio capire. Nel 1671 (molto dopo Brunelleschi!) con Hooke abbiamo compreso che le strutture in muratura possono sopportare solo forze di compressione ma non di trazione, cos\u00ec come una corda sospesa pu\u00f2 resistere a forze di trazione ma non di compressione. Ecco, la catenaria rovesciata<\/strong> (la cui equazione fu determinata nel 1691 da Leibniz, da Giovanni Bernoulli e da Huygens) ha proprio questa propriet\u00e0: \u00e8 sottoposta soltanto a forze di compressione, mentre nella catenaria non ribaltata le forze che agiscono sono esclusivamente di trazione\u201d.<\/p>\n Fa una piccola pausa e poi riprende:<\/p>\n \u201cVedi, quando hai una catena pendente le forze che agiscono sono quelle che reggono gli estremi, appunto forze di trazione. Invece, in una catenaria rovesciata le forze sono quelle che \u2018comprimono la curva\u2019 e sono, dunque, forze di compressione\u201d.<\/p>\n Prende il foglio e disegna una catenaria rovesciata con due frecce alle estremit\u00e0. Poi aggiunge:<\/p>\n \u201cLe forze di compressione \u2018scaricano\u2019 in questi punti qui, che sono i punti di appoggio della cupola sul tamburo.<\/p>\n Per questo motivo, il modello della catenaria rovesciata trova un\u2019importante applicazione nella costruzione degli archi in muratura. Anche Gaud\u00ec ne ha fatto largo uso.<\/p>\n Prendo io la parola e gli chiedo qualche secondo per ricapitolare; voglio essere sicura di aver capito bene:<\/p>\n Brunelleschi progetta le due cupole in modo che fra queste due si possa tracciare una catenaria rovesciata, ottenendo quella che oggi sappiamo essere la struttura pi\u00f9 efficace per sorreggere il proprio peso complessivo<\/em>.<\/p>\n \u201c\u00c8 fichissimo!\u201d esclamo in un impeto di meraviglia.<\/p>\n \u201cGi\u00e0\u201d, sorride lui.<\/p>\n Guardo il foglio con le domande e riprendo la parola: \u201cChe cos\u2019\u00e8 la struttura a \u2018spinapesce\u2019?\u201d<\/strong><\/p>\n \u201cLa spinapesce \u00e8 uno degli accorgimenti con cui Brunelleschi ha disposto i mattoni per costruire la cupola; si tratta una procedura che gli ha permesso non utilizzare impalcature, che avrebbero dovuto sostenere la struttura durante la costruzione, che sarebbero state costose e complesse da realizzare. Consiste pi\u00f9 o meno in questo: ad intervalli regolari alcuni mattoni sono posti col lato pi\u00f9 lungo emergente rispetto a quelli appoggiati sui filari orizzontali; dunque, si alternano i mattoni messi \u2018di piatto\u2019 con quelli disposti \u2018a coltello\u2019, che sono verticali.<\/p>\n Io inclino la testa e socchiudo gli occhi cercando di immaginare la porzione di cilindro che compone ogni vela. Poi giro la testa e cambio prospettiva: con la mente guardo ogni vela dall\u2019interno. Cerco i mattoni posizionati in orizzontale e verticale in un appoggio obliquo che faccio fatica a visualizzare, mi sforzo di catturare con l\u2019immaginazione il sostegno autoportante che ha consentito ai letti di posa di non scivolare durante i lavori. Mi chiedo come sia stato possibile che un uomo abbia realizzato, di fatto da solo, una tecnica tanto efficace e sento il bisogno di riflettere sul significato della parola progresso<\/em>.<\/p>\n \u00c8 progresso la falcata solitaria di un gigante, seguita da innumerevoli piccoli piedi che riempiono lo spazio tra due orme successive.<\/p>\n Guardiamo l\u2019orologio. Il tempo \u00e8 volato e non ci siamo accorti che sono finite le ore a disposizione per la nostra chiacchierata. Io devo tornare a scuola e lui deve correre a tenere uno dei suoi numerosissimi corsi nei vari corsi di laurea universitari in cui insegna.<\/p>\n Ci alziamo e, prima di uscire, ci scambiamo qualche parola di saluto. Io sono felice: ho imparato cose meravigliose e ho conosciuto un insegnante speciale. Gli porgo una mano e gli faccio un sorriso: \u201cCiao Professore, \u00e8 stato un piacere parlare con te. Spero di rincontrarti e di ascoltarti ancora\u201d.<\/p>\n In quel momento si sente una voce che giunge dal tavolo accanto: la coppia di sposi africani si alza mentre la donna porge la mano all\u2019insegnante. La guarda negli occhi e le dice: \u201cAnche io, grazie\u201d.<\/p>\n <\/p>\n Giuseppe Conti<\/b>\u00a0\u00e8\u00a0<\/b>laureato in Matematica e professore associato di Istituzioni Matematiche e Modelli Matematici per le Applicazioni presso la Facolt\u00e0 di Architettura dell\u2019Universit\u00e0 di Firenze. Insegna anche Analisi matematica I e II al Corso di Laurea di Ingegneria Meccanica dell\u2019Universit\u00e0 di Firenze. \u00a0E\u2019 autore di numerosi libri di testo per l\u2019Universit\u00e0.\u00a0I suoi campi di ricerca sono la geometria combinatoria e l\u2019analisi funzionale non lineare e applicazioni della matematica nei settori dell\u2019architettura, della musica dell\u2019economia e della fotogrammetria. Nel 2002 ha vinto il premio internazionale Pirelliward (Premio Pirelli) per la divulgazione scientifica tramite internet. Ha tenuto convegni in numerose Universit\u00e0 nazionali ed estere e in varie istituzioni culturali.<\/em><\/p>\n \u00a0<\/strong><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u00a0<\/strong><\/p>\n \u00a0<\/strong><\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Ho chiesto l\u2019intervista al Professor Conti dopo aver partecipato a una delle sue passeggiate matematiche in giro per il centro di Firenze. 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Poi per\u00f2, nella quarta giornata, Galileo afferma, sempre per bocca di Salviati, che la parabola \u00e8 un\u2019approssimazione della catenaria e che le due curve, pur essendo simili, sono in effetti differenti. Quindi vedi, Galileo aveva capito benissimo che una parabola e una catenaria non sono la stessa cosa\u201d.<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>Altra cosa \u00e8 l\u2019applicazione della forma parabolica, che invece si adatta a strutture che non sono soggette solo al loro peso ma che devono reggere un carico uniforme come, ad esempio, i ponti. Come abbia fatto Brunelleschi a sapere tutte queste cose con quasi tre \u00a0secoli di anticipo \u00e8 un mistero\u201d.<\/p>\n<\/a> In questo modo si evita lo scivolamento dei mattoni e la struttura regge in fase costruttiva. L\u2019aspetto interessante consiste nel fatto che i filari dei mattoni posti a spinapesce seguono l\u2019andamento delle eliche cilindriche ellittiche. Occorre, a questo proposito, ricordare che ciascuna delle otto vele che formano la cupola \u00e8 una porzione di cilindro ellittico e i mattoni posti a spina pesce, formando angoli costanti con le generatrici del cilindro, si dispongono secondo delle eliche\u201d.<\/a><\/p>\n<\/p>\n