L’enigma di Monty Hall

Il gioco che viene presentato in questo articolo è noto al grande pubblico dal 1959, quando fu pubblicato da Martin Gardner nella rivista Scientific American e da lui definito splendidamente ingannevole.

Da allora è stato ripreso più volte e formulato in diverse varianti, tutte caratterizzate da formulazioni semplicissime che sorprendentemente conducevano a risultati fallaci. 

Nel 1990 Marilyn Vos Savant lo propose con tanto di soluzione in Parade Magazine. Nonostante fosse la donna con il quoziente di intelligenza più alto del mondo, certificato dal Guinness dei Primati, ricevette più di diecimila lettere che sostenevano la falsità del risultato.

Nel 1991 il gioco apparve sulla prima pagina del New York Times, donando all’illusione cognitiva le vette più alte della celebrità. 

Tutte le volte che è stato proposto, ha suscitato innumerevoli polemiche e un vastissimo clamore, tanto da meritare l’appellativo di paradosso.

La formulazione che segue è nota come Problema di Monty Hall, dal nome del conduttore televisivo che nel 1963 portò il quesito nello Show Let’s make a Deal (cioè mettiamoci d’accordo, concludiamo l’affare) trasformandolo in un format di grandissimo successo. 

Lo propongo oggi sul Blog di Buongiorno Matematica, accompagnato dal ragionamento per giungere alla soluzione. Chi non lo conosce può divertirsi a mettere in ordine i propri pensieri e successivamente procedere alla lettura delle motivazioni. 

La maggior parte delle persone prende senza esitazione la strada della cantonata, inciampa in una trappola cognitiva collettiva ed è costretta a rivedere le proprie certezze. 

Non avvilitevi e soprattutto non vi spazientite se le argomentazioni vi sembrano destabilizzanti: riflettere significa qualche volta saper tornare indietro per rivedere tutto sotto un’altra prospettiva. 

È proprio la caratteristica di risultare ingannevole che rende il gioco intrigante, come tutte le cose che ci sembrano in un modo e poi ci fanno cambiare idea. 

Il quesito

Immaginate di partecipare a una trasmissione televisiva.

Il conduttore vi mostra tre porte chiuse, identiche tra loro, e vi dice che dietro ci sono rispettivamente due capre e un’automobile. Vi chiede di sceglierne una attaccandoci un cartello con la lettera x. Se indovinate quella con l’automobile, la macchina sarà vostra; altrimenti avete perso e tornate a casa a mani vuote. 

Dopo aver rimuginato un po’, spinti dal caso e dalla speranza del fortuito tentativo, scegliete una porta e attaccate il cartello. Lo scenario, a questo punto, è dato ancora dalle tre porte chiuse, di cui una contrassegnata con la lettera x.

Il conduttore sa che cosa c’è dietro ogni apertura e spalanca, davanti ai vostri occhi, una porta contenente una capra (qualsiasi sia la porta su cui avete apposto la vostra x, sia che nasconda una capra sia che celi la macchina, ci sarà almeno un’altra porta con dietro una capra, visto che le capre sono due. Di fatto se avete posto la x sulla porta della prima capra, che possiamo chiamare C1, lui apre quella con la seconda capra, che chiamiamo C2. Se avete scelto la porta con C2, lui apre quella con C1. Se invece avete indicato la porta con la macchina, lui apre equivalentemente la porta con C1 o quella con C2).

Avete adesso di fronte una porta aperta, da cui si vede una capra, e due porte chiuse. Una delle due è marchiata con la vostra x ma non sapete se nasconda la macchina oppure la capra rimasta.

Qui arriva il punto saliente del quesito. 

Il conduttore vi comunica che avete la possibilità di conservare la vostra scelta o di cambiarla, spostando la x da una porta all’atra.

La domanda del gioco è questa: è più conveniente cambiare, lasciare le cose come stanno oppure le due opzioni sono equivalenti?

Qualche piccola precisazione

Chiariamo subito che quando ci viene chiesto che cosa sia più conveniente fare, non va inteso che quella scelta ci porti alla vittoria sicura.

Significa piuttosto che se potessimo ripetere il gioco 100, 1000, 10000 ….100000 volte, riscontreremmo che quella opzione conduce a vincere più spesso delle altre. 

Detto questo, può darsi che molti di voi abbiano optato per la terza possibilità, considerando le due alternative equivalenti. La risposta, in questi casi, è affiancata dalla considerazione che con due porte chiuse la probabilità di trovare la macchina è del 50%, quindi la scelta di cambiare è utile quanto quella di non cambiare. 

È la risposta giusta?

Come avrete intuito dalle premesse, non lo è. Proveremo di seguito che è invece vincente la strada del cambiamento, in quanto conduce alla vittoria due volte su tre.

Il ragionamento per la soluzione

Chi ha scommesso sul fatto che la macchina ha il 50% di probabilità di essere trovata, ragiona su una parte del quesito (quello che succede dall’istante in cui ci vene proposto di cambiare la nostra scelta), senza considerare il testo iniziale. 

È vero che in quel momento ci sono due porte con due entità differenti, una capra e una macchina (la nostra mente pare fermarsi lì), ma è anche vero che le capre all’inizio del gioco sono due mentre la macchina è una sola. Nella prima fase, quando ci viene chiesto di attaccare il cartello con la x, c’è evidentemente più probabilità di trovare una capra e questo in qualche modo dovrà pesare, visto che poi ci viene data la possibilità di cambiare proprio quella scelta. D’altro canto, il gesto del conduttore rivela di fatto una realtà scontata, l’esistenza cioè di una capra rimasta libera. 

Come procedere allora? 

Facciamo il punto della situazione con uno schema grafico.

Inizialmente abbiamo tre possibilità: le due capre C1 e C2 e la macchina M. Ciascuna di queste ha pari probabilità di essere scelta, che corrisponde a 1/3.

Vediamo che cosa può succedere in ciascuno dei tre casi.

Se abbiamo scelto la porta con dietro C1 (chiaramente non lo sappiamo), il conduttore apre la porta con C2 e le porte che rimangono chiuse contengono l’una C1 e l’altra M. Proprio queste sono le possibilità che abbiamo davanti: se confermiamo la nostra scelta rimaniamo su C1, altrimenti passiamo a M. 

Allo stesso modo si ragiona se la nostra prima scelta era caduta su C2: il conduttore ci mostra la porta con C1 e nelle due porte chiuse rimangono C2 e M.

Infine, se avevamo scelto la porta contenente la macchina, il conduttore apre una delle due porte con una capra e in quelle chiuse rimangono l’altra capra e la macchina.

Il quadro completo del gioco, cioè la totalità delle possibili opzioni che possiamo incontrare, è di fatto un insieme di strade, ciascuna delle quali è composta da due scelte in successione. 

Con un balzo del pensiero possiamo vedere ogni strada come una coppia di lettere; per esempio la coppia (C1,C1) indica la strada in cui abbiamo scelto, senza saperlo, la porta con C1 la prima volta e poi l’abbiamo riconfermata quando ci è stata data la possibilità di cambiare. 

La coppia (C1, M) sta invece ad indicare la strada che abbiamo intrapreso se dietro la nostra porta si nascondeva C1 e poi siamo passati a quella contenente M.

La coppia (M, C1/C2) corrisponde alla strada in cui abbiamo trovato la macchina nella prima scelta e poi l’abbiamo cambiata cadendo su C1 oppure su C2, secondo la porta che apre il conduttore (qualsiasi porta apra, sia quella che nasconde C1 che quella con C2, rimarrà una porta chiusa con l’altra capra).

In riferimento al diagramma che abbiamo costruito, le possibili strade sono complessivamente sei, rappresentate dalle coppie

(C1, C1), (C1, M), (C2, C2), (C2, M), (M, C1/ C2), (M, M)

Va da sé che le coppie in cui le lettere sono uguali indicano le scelte riconfermate, mentre quelle con le lettere diverse rappresentano i possibili cambiamenti. 

Per rispondere al quesito, se sia più conveniente cambiare, riconfermare oppure se le due opzioni siano equivalenti, analizziamo le possibilità di vittoria nei casi in cui abbiamo cambiato scelta e in quelli in cui non l’abbiamo cambiata.

Per vincere occorre che la seconda scelta, cambiata o riconfermata che sia, conduca alla lettera M che rappresenta appunto la macchina vinta. 

1) PRIMO CASO: Abbiamo cambiato scelta nei casi 

(C1,M), (C2,M), (M, C1/C2)

Tra questi, conducono a vittoria i casi (C1,M) e (C2, M): due casi su tre.

2) SECONDO CASO: Abbiamo riconfermato la prima scelta nei casi 

(C1,C1), (C2,C2), (M,M)

tra questi, è vincente solo (M, M): un caso su tre.

Risulta dunque, in generale, più conveniente la strada del cambiamento perché conduce a una probabilità di vittoria pari a 2/3, contro quella della riconferma che ha probabilità di vittoria 1/3.

Piccole considerazioni finali

Può darsi che chi non è abituato a masticare simboli o linguaggi sintetici abbia fatto un po’ di fatica ad associare ogni strada a una coppia di lettere. Quel passaggio, che ho definito durante la spiegazione come un balzo del pensiero, non sempre appare immediato o evidente. 

Il mio consiglio, per chi vive questa fatica come un disagio, è quello di ripetere più volte il significato dei simboli e di dotare di parole ogni passaggio dello schema. Dopo un po’ tutto appare improvvisamente familiare e siamo in grado di apprezzare l’utilità della rappresentazione che abbiamo costruito.

Ripulire i passaggi dalle informazioni inutili non è poi così dissimile all’attività di uno scultore quando toglie il marmo in eccesso per dar vita a una statua. Quello che rimane è l’essenza di qualcosa che abbiamo realizzato con fatica e che improvvisamente vediamo nella sua esplicita bellezza.

Il nostro cervello, non dimentichiamolo, è sensibile all’armonia della sintesi. Dominare un problema è un’esperienza capace di trasformare il pensiero in energia; è lì che prendiamo la forza per mettere in discussione le idee e per cambiare le cose. 

Vi auguro di vivere un’estate felice, di amare le persone che avete intorno e di avere sempre un problema con cui confrontarvi.

La vita, a ben vedere, è un insieme di porte da aprire con gusto.