La cupola meravigliosa

Ho chiesto l’intervista al Professor Conti dopo aver partecipato a una delle sue passeggiate matematiche in giro per il centro di Firenze. Con grande competenza e con una simpatia travolgente, Conti incantava la comitiva: un gruppo di persone che camminavano con il naso all’insù in cerca di simboli e tracce del passato, aneddoti e curiosità sulla nostra incredibile storia comune. I miei occhi si posavano, insieme a quelli degli altri partecipanti, lì dove lui sceglieva di farli posare producendo un unico grande sguardo stupito.

Dopo qualche giorno gli ho scritto per proporgli un’intervista: “Caro professore, mi piacerebbe fare una chiacchierata con lei sulla bellezza della cupola del Brunelleschi, vorrei ascoltarla e prendere appunti per un articolo da pubblicare sul mio blog che si chiama Buongiorno Matematica”.

“Ho visto il sito e accetto con piacere”, ha risposto lui.

Così ci siamo incontrati una mattina di dicembre nella sala di una biblioteca fiorentina. “Diamoci del tu – mi ha detto- non mi piacciono i formalismi”. “Non mi pare il vero”, ho risposto io.

Individuiamo un divano e ci avviciniamo per prendere una posizione comoda da colloquio. Vicino a noi una coppia di sposi africani segue una lezione di lingua per imparare l’italiano; una signora volitiva e sorridente ripete le parole “anche io, grazie” … ”anche io, grazie”… Gli sposi guardano la loro insegnante con aria incerta manifestando l’espressione dispiaciuta di chi ancora non ha compreso.

“Guarda questo tavolino – dice Conti mentre ci accomodiamo – ha la forma di un triangolo di Reuleaux”. Io lo guardo e vedo una specie di triangolo con i lati ricurvi.

“Se lo fai ruotare dentro un quadrato mantiene sempre quattro punti di contatto sui lati e rimane all’interno; comunque giri, sta sempre tra due coppie di rette parallele”.

“Quindi il contorno della figura, che ha tre vertici, tocca sempre il bordo del quadrato in quattro punti, giusto?” dico io.

“Giusto; anche se gli cambiamo orientamento, cambiano i punti di contatto, ma sono sempre quattro e appartengono a rette parallele. Ora però cominciamo, non volevo deviare il discorso con una cosa inutile, che non ha nulla a che fare con l’intervista”.

“Sai – mi intrometto io – le cose belle della vita spesso sono quelle inutili”.

Lui mi guarda e ride: “Non potrei essere più d’accordo”.

Così inizia la nostra conversazione, mentre io indugio ancora qualche secondo sull’idea di un triangolo che si inarca sui lati ed è capace di toccare sempre un quadrato in quattro punti.  Non riesco a trattenere il pensiero e mi immagino un gatto che si gonfia sul dorso per sembrare un leone.

Tiro fuori un foglio su cui avevo appuntato qualche domanda e prendo la parola.

“Cominciamo con un po’ di storia, giusto per inquadrare la situazione.  La costruzione della cupola inizia dopo che, verso il 1415, sono terminati il campanile, le navate, l’abside della cattedrale e il tamburo sottostante. Nel 1420 a Ghiberti ed a Brunelleschi viene affidata la direzione del cantiere e cominciano a lavorare insieme; successivamente sarebbe rimasto solo Brunelleschi a soprintendere i lavori. La Cupola avrebbe avuto dimensioni impressionanti e coloro che le avevano stabilite, più di cinquant’anni prima, non si erano preoccupati del modo con cui realizzarla. La prima cosa che volevo chiederti è proprio questa: È possibile che cominciassero a lavorare senza aver pianificato il modo con cui edificare una costruzione tanto imponente?”

“Possibilissimo- dice lui- era una cosa ricorrente a quei tempi. La costruzione delle chiese gotiche spesso durava secoli e chi la iniziava non sempre sapeva come sarebbe finita. Inoltre, oggi possiamo ammirare le opere architettoniche che sono arrivate a noi, ma quante sono state abbandonate per crolli o altro! Anche la meravigliosa cupola di Santa Sofia a Istanbul ha avuto vari cedimenti. Pensa alla cattedrale di Beauvais, in Francia. Dopo la sua costruzione il coro rovinò; fu ricostruito ma, successivamente, crollò la torre posta sopra la crociera. La chiesa è rimasta incompleta: quella attuale è composta soltanto dal coro, dal transetto e dalla prima campata della navata”.

Fa una pausa e poi aggiunge:

“Non hai letto ‘I pilastri della terra’ di Ken Follet?“

“No, non l’ho letto”, rispondo.

“Beata te! Io me lo sono già ‘giocato’ e l’ho letto due volte; pagherei per avere di nuovo lo stupore della prima lettura. Insomma, in quel libro si racconta proprio questo: nel passaggio dall’arte Romanica a quella Gotica succedeva che molti templi cadessero per difetti strutturali e, talvolta, non si sapeva come porvi rimedio. La stessa cosa accadeva in Italia: si procedeva nella costruzione e si sperava che andasse tutto bene. La costruzione di grandi opere rispondeva all’esigenza di mostrare grandezza e magnificenza da parte di una città; erigere chiese e palazzi era un modo per stupire gli stati vicini e per ostentare la propria forza e la propria ricchezza. Quanto più le costruzioni erano grandi e belle, tanto più portavano gloria e fama alla città intera. Succedeva così che, qualche volta, i committenti facessero il passo più lungo della gamba nel tentativo di risultare migliori. Il Duomo di Siena, per esempio, fu ampliato per renderlo più grande, emulando quello di Firenze; tuttavia, durante i lavori ci furono cedimenti strutturali che portarono all’abbandono del progetto di ampliamento. Probabilmente tutto questo fu la fortuna dei fiorentini, chiamati in soccorso dai senesi (incredibile!).  In quel periodo anche a Firenze si stavano costruendo le navate della cattedrale e fu deciso di erigere ampie campate quadrate al posto di quelle rettangolari, più strette, tipiche del gotico francese. Pensa te, in questo modo lasciavano sotto ciascuna delle quattro volte della navata centrale uno spazio vuoto di circa 20 metri per 20 metri, una struttura di ampio respiro! Tenendo conto di quanto era successo a Siena, capirono che la cattedrale di Firenze rischiava di finire nello stesso modo e presero provvedimenti. Alzarono le fiancate del duomo, posero delle catene di ferro e misero dei contrafforti nascosti: il trucco c’era ma non si doveva vedere. Furbissimi!”

Riprendo io la parola per fare una considerazione.

“Da quello che dici capisco che non si parlava ancora di Scienza delle Costruzioni, la teoria che usa strumenti fisici e matematici per stabilire le leggi che garantiscano strutture resistenti”.

“No certo, la Scienza delle Costruzioni è arrivata molto dopo: possiamo dire che iniziò con Galileo, il quale, nel lontanissimo 1638, propose le prime formule teoriche della resistenza a rottura di travi inflesse; il concetto di modello prima era quasi esclusivamente geometrico. Brunelleschi è stato un grande, ha anticipato alcuni aspetti pratici della Scienza delle Costruzioni di circa due secoli. Lui, però, non si basava su calcoli statici: diciamo che i suoi punti di forza erano l’esperienza e un intuito da genio”.

“Arriviamo alla cupola; – riprendo io – a livello architettonico  è formata da due calotte, due cupole poste l’una dentro l’altra e separate da un’intercapedine. Come mai?”

“Questa struttura doppia ha molte funzioni. La cupola interna è a quinto acuto, fermiamoci un attimo su quella. Si dice che un arco è a ‘sesto di quinto acuto’ se per realizzarlo si ricorre a questa costruzione geometrica che ora ti racconto. Per prima cosa si divide la lunghezza del diametro alla base in 5 segmenti uguali. Poi si tracciano due archi puntando il compasso rispettivamente sulle prime due tacche, una a destra e l’altra a sinistra, con un’apertura tale da arrivare all’estremo finale del segmento: per questo si dice a quinto acuto”.

Prende il foglio e disegna un segmento orizzontale per farmi capire. Traccia 6 tacche (quattro interne e due alle estremità del segmento) in modo da dividerlo in 5 parti; poi punta il pollice sulla prima tacca interna a partire da sinistra e ruota l’indice sul foglio come se fosse un compasso e con la matita disegna l’arco. Dopo punta il pollice sulla prima tacca interna che si trova dall’altra parte, a destra, e fa la stessa cosa in direzione opposta. Quello che risulta sul foglio è in effetti molto simile al profilo di una cupola. 

Mi passa il foglio e riprende.

“La cupola esterna, invece, è a ‘sesto di quarto acuto’. Il procedimento per disegnarla è uguale, solo che la base viene divisa in quattro parti invece che in cinque: per questo si chiama a quarto acuto”.

Così disegna anche la cupola estera.

“I due gusci sono collegati da delle nervature in corrispondenza dei costoloni intermedi e quelli di spigolo. La cupola esterna con questo accorgimento scarica il peso su quella interna, che è quella portante, e la struttura complessiva diventa più leggera, ma anche più resistente di un’analoga cupola a sezione piena. È una modalità costruttiva che consente di ottenere la maggior resistenza col minore impiego di materiale. Inoltre, come dice lo stesso Brunelleschi, la cupola esterna protegge dalle intemperie quella interna.  Poi c’è un altro fatto: lo spazio fra le due cupole oggi consente ai turisti di salire fino in cima”.

Si mette a ridere e io con lui.

Faccio dentro di me il punto della situazione per scrivere quanto mi ha detto: due cupole separate da un’intercapedine vuota rafforzano la struttura e pesano meno di una cupola piena.

Lui fa uno schizzo sul foglio e dice:

“Vedi, la sagoma della cupola contiene perfettamente una catenaria ribaltata. Che cosa conosci della catenaria?” mi chiede.

“So che è una curva che assomiglia a una parabola, tanto che all’inizio si pensava che fossero la stessa cosa. È la forma di una collana, senza ciondoli, che portiamo appesa al collo; quella della catena tenuta per le estremità e lasciata penzolare”, rispondo io.

“Esatto- dice lui- in realtà assomiglia alla parabola solo in prossimità del vertice, poi, allargandosi, diventano più distinguibili.

Circola la storia che anche Galileo le confondesse ma è un falso storico, anche se, purtroppo, molto diffuso. L’equivoco nasce dal fatto che nella seconda giornata dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali, Galileo fa dire a Salviati che la catena sospesa agli estremi assume la forma di una parabola. Poi però, nella quarta giornata, Galileo afferma, sempre per bocca di Salviati, che la parabola è un’approssimazione della catenaria e che le due curve, pur essendo simili, sono in effetti differenti. Quindi vedi, Galileo aveva capito benissimo che una parabola e una catenaria non sono la stessa cosa”.

“Perché Brunelleschi progetta una struttura sagomata sulla catenaria e non sulla parabola? Qual è il vantaggio?” chiedo io.

“Il vantaggio è che la catenaria è la curva migliore per una struttura che deve reggere solo il proprio peso. Ti faccio capire. Nel 1671 (molto dopo Brunelleschi!) con Hooke abbiamo compreso che le strutture in muratura possono sopportare solo forze di compressione ma non di trazione, così come una corda sospesa può resistere a forze di trazione ma non di compressione. Ecco, la catenaria rovesciata (la cui equazione fu determinata nel 1691 da Leibniz, da Giovanni Bernoulli e da Huygens) ha proprio questa proprietà: è sottoposta soltanto a forze di compressione, mentre nella catenaria non ribaltata le forze che agiscono sono esclusivamente di trazione”.

Fa una piccola pausa e poi riprende:

“Vedi, quando hai una catena pendente le forze che agiscono sono quelle che reggono gli estremi, appunto forze di trazione. Invece, in una catenaria rovesciata le forze sono quelle che ‘comprimono la curva’ e sono, dunque, forze di compressione”.

Prende il foglio e disegna una catenaria rovesciata con due frecce alle estremità. Poi aggiunge:

“Le forze di compressione ‘scaricano’ in questi punti qui, che sono i punti di appoggio della cupola sul tamburo.

Per questo motivo, il modello della catenaria rovesciata trova un’importante applicazione nella costruzione degli archi in muratura. Anche Gaudì ne ha fatto largo uso.

Altra cosa è l’applicazione della forma parabolica, che invece si adatta a strutture che non sono soggette solo al loro peso ma che devono reggere un carico uniforme come, ad esempio, i ponti. Come abbia fatto Brunelleschi a sapere tutte queste cose con quasi tre  secoli di anticipo è un mistero”.

Prendo io la parola e gli chiedo qualche secondo per ricapitolare; voglio essere sicura di aver capito bene:

Brunelleschi progetta le due cupole in modo che fra queste due si possa tracciare una catenaria rovesciata, ottenendo quella che oggi sappiamo essere la struttura più efficace per sorreggere il proprio peso complessivo.

“È fichissimo!” esclamo in un impeto di meraviglia.

“Già”, sorride lui.

Guardo il foglio con le domande e riprendo la parola: “Che cos’è la struttura a ‘spinapesce’?”

“La spinapesce è uno degli accorgimenti con cui Brunelleschi ha disposto i mattoni per costruire la cupola; si tratta una procedura che gli ha permesso non utilizzare impalcature, che avrebbero dovuto sostenere la struttura durante la costruzione, che sarebbero state costose e complesse da realizzare. Consiste più o meno in questo: ad intervalli regolari alcuni mattoni sono posti col lato più lungo emergente rispetto a quelli appoggiati sui filari orizzontali; dunque, si alternano i mattoni messi ‘di piatto’ con quelli disposti ‘a coltello’, che sono verticali.

In questo modo si evita lo scivolamento dei mattoni e la struttura regge in fase costruttiva. L’aspetto interessante consiste nel fatto che i filari dei mattoni posti a spinapesce seguono l’andamento delle eliche cilindriche ellittiche. Occorre, a questo proposito, ricordare che ciascuna delle otto vele che formano la cupola è una porzione di cilindro ellittico e i mattoni posti a spina pesce, formando angoli costanti con le generatrici del cilindro, si dispongono secondo delle eliche”.

Io inclino la testa e socchiudo gli occhi cercando di immaginare la porzione di cilindro che compone ogni vela. Poi giro la testa e cambio prospettiva: con la mente guardo ogni vela dall’interno. Cerco i mattoni posizionati in orizzontale e verticale in un appoggio obliquo che faccio fatica a visualizzare, mi sforzo di catturare con l’immaginazione il sostegno autoportante che ha consentito ai letti di posa di non scivolare durante i lavori. Mi chiedo come sia stato possibile che un uomo abbia realizzato, di fatto da solo, una tecnica tanto efficace e sento il bisogno di riflettere sul significato della parola progresso.

È progresso la falcata solitaria di un gigante, seguita da innumerevoli piccoli piedi che riempiono lo spazio tra due orme successive.

Guardiamo l’orologio. Il tempo è volato e non ci siamo accorti che sono finite le ore a disposizione per la nostra chiacchierata. Io devo tornare a scuola e lui deve correre a tenere uno dei suoi numerosissimi corsi nei vari corsi di laurea universitari in cui insegna.

Ci alziamo e, prima di uscire, ci scambiamo qualche parola di saluto. Io sono felice: ho imparato cose meravigliose e ho conosciuto un insegnante speciale. Gli porgo una mano e gli faccio un sorriso: “Ciao Professore, è stato un piacere parlare con te. Spero di rincontrarti e di ascoltarti ancora”.

In quel momento si sente una voce che giunge dal tavolo accanto: la coppia di sposi africani si alza mentre la donna porge la mano all’insegnante. La guarda negli occhi e le dice: “Anche io, grazie”.

 

Giuseppe Conti è laureato in Matematica e professore associato di Istituzioni Matematiche e Modelli Matematici per le Applicazioni presso la Facoltà di Architettura dell’Università di Firenze. Insegna anche Analisi matematica I e II al Corso di Laurea di Ingegneria Meccanica dell’Università di Firenze.  E’ autore di numerosi libri di testo per l’Università. I suoi campi di ricerca sono la geometria combinatoria e l’analisi funzionale non lineare e applicazioni della matematica nei settori dell’architettura, della musica dell’economia e della fotogrammetria. Nel 2002 ha vinto il premio internazionale Pirelliward (Premio Pirelli) per la divulgazione scientifica tramite internet. Ha tenuto convegni in numerose Università nazionali ed estere e in varie istituzioni culturali.